Xét các số phức \(z\) và \(w\) thoả mãn \(\left( {3 - i} \right)\left| z \right| = \dfrac{z}{{w - 1}} + 1 -

Câu hỏi số 571950:

Vận dụng cao

Xét các số phức \(z\) và \(w\) thoả mãn \(\left( {3 - i} \right)\left| z \right| = \dfrac{z}{{w - 1}} + 1 - i\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(T = \left| {w + i} \right|\).

A. \(2\).

B. \(\dfrac{1}{2}\).

C. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

D. \(\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:571950

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình, mô đun 2 vế.

Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w + i\).

Đánh giá giá trị nhỏ nhất của \(T = \left| {w + i} \right|\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( {3 - i} \right)\left| z \right| = \dfrac{z}{{w - 1}} + 1 - i\,\,\,\,\left( {w \ne 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{z}{{w - 1}} = \left( {3\left| z \right| - 1} \right) + \left( {1 - \left| z \right|} \right)i\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {\dfrac{z}{{w - 1}}} \right| = \left| {\left( {3\left| z \right| - 1} \right) + \left( {1 - \left| z \right|} \right)i} \right|\\ \Rightarrow \dfrac{{{{\left| z \right|}^2}}}{{{{\left| {w - 1} \right|}^2}}} = {\left( {3\left| z \right| - 1} \right)^2} + {\left( {1 - \left| z \right|} \right)^2}\end{array}\).

Đặt \(\left| z \right| = t \ge 0\), ta có: \(\dfrac{{{t^2}}}{{{{\left| {w - 1} \right|}^2}}} = {\left( {3t - 1} \right)^2} + {\left( {1 - t} \right)^2}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{{{\left| {w - 1} \right|}^2}}} = 10 - \dfrac{8}{t} + \dfrac{2}{{{t^2}}} = 2{\left( {\dfrac{1}{t} - 2} \right)^2} + 2 \ge 2\).

\( \Rightarrow {\left| {w - 1} \right|^2} \le \dfrac{1}{2} \Rightarrow \left| {w - 1} \right| \le \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left| {\left( {w + i} \right) - \left( {1 + i} \right)} \right| \le \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn \(M\) của số phức \(w + i\) là hình tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {1;1} \right)\), bán kính \(R = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Ta thấy: \(OI = \sqrt 2 > R \Rightarrow O\) nằm ngoài hình tròn \(\left( C \right)\).

Do đó: \({\left| {w + i} \right|_{\min }} = O{M_{\min }} = OI - R = \sqrt 2 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.