Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong

Câu hỏi số 574390:

Vận dụng

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng \(\dfrac{{\sqrt 7 a}}{7}\). Thể tích V của khối chóp S.ABCD là:

A. \(V = \dfrac{1}{{36}}{a^3}\)

B. \(V = \dfrac{1}{3}{a^3}\)

C. \(V = \dfrac{2}{3}{a^3}\)

D. \(V = \dfrac{{{a^3}}}{{18}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:574390

Phương pháp giải

Gọi H là trung điểm của AB. Chứng minh \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Chứng minh d(H,(SCD)) = d(A,(SCD)).

Dựng khoảng cách từ H đến (SCD).

Đặt AB = x. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính x theo a.

Tính thể tích \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}\).

Giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của AB.

Vì tam giác SAB đều nên \(SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Ta có AH // CD => AH // (SCD) => d(A;(SCD)) = d(H;(SCD)).

Gọi M là trung điểm CD, trong (SHM) kẻ \(HM \bot SM\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HM\\CD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow CD \bot HK\\\left\{ \begin{array}{l}HK \bot CD\\HK \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SCD} \right)\\ \Rightarrow d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = HK = \dfrac{{\sqrt 7 a}}{7}\end{array}\)

Đặt \(AB = x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SH = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2}\\HM = x\end{array} \right.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHM có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{M^2}}} = \dfrac{1}{{H{K^2}}}\\ \Rightarrow \dfrac{4}{{3{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = \dfrac{7}{{{a^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{7}{{3{x^2}}} = \dfrac{7}{{{a^2}}}\\ \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{{a^2}}}{3} \Leftrightarrow x = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\end{array}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SH = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{a}{2}\\{S_{ABCD}} = {x^2} = \dfrac{{{a^2}}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{{{a^3}}}{{18}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.