Tính tổng các nghiệm nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 5;10} \right]\) của bất phương trình \({2^{{x^2}

Câu hỏi số 574392:

Vận dụng

Tính tổng các nghiệm nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 5;10} \right]\) của bất phương trình

\({2^{{x^2} + x}}\left( {3{x^2} - 6x + 6} \right) \ge 7{x^2} - 29x + 34\).

A. \(54\)

B. \(40\)

C. \(55\)

D. \(41\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:574392

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp xét hàm đặc trưng.

Đặt ẩn phụ \(a = 12{x^2} - 24x + 24,\,\,b = 7{x^2} - 29x + 34\,\,\left( {a,\,\,b > 0} \right)\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{2^{{x^2} + x}}\left( {3{x^2} - 6x + 6} \right) \ge 7{x^2} - 29x + 34\\ \Leftrightarrow {2^{{x^2} + x - 2}}\left( {12{x^2} - 24x + 24} \right) \ge 7{x^2} - 29x + 34\end{array}\)

Đặt \(a = 12{x^2} - 24x + 24,\,\,b = 7{x^2} - 29x + 34\,\,\left( {a,\,\,b > 0} \right)\) \( \Rightarrow {x^2} + x - 2 = \dfrac{{a - b}}{5}\).

Khi đó ta có: \({2^{\frac{{a - b}}{5}}}.a \ge b \Leftrightarrow a{.2^{\frac{a}{5}}} \ge b{.2^{\frac{b}{5}}}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = t{.2^{\frac{t}{5}}}\) với \(t > 0\) ta có \(f'\left( t \right) = {2^{\frac{t}{5}}} + \dfrac{1}{5}t{.2^{\frac{t}{5}}}\ln 2 > 0\,\forall t > 0\).

\( \Rightarrow \) hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( a \right) \ge f\left( b \right) \Leftrightarrow a \ge b\\ \Rightarrow 12{x^2} - 24x + 24 \ge 7{x^2} - 29x + 34\\ \Leftrightarrow 5{x^2} + 5x - 10 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le - 2\end{array} \right.\end{array}\).

Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow x \in \left\{ { - 5; - 4;...;10} \right\}\).

Vậy tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình là 41.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.