Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2}
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 48\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z - 3}}{{\sqrt 2 }}\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\,\,\left( {a > 0} \right)\) nằm trên đường thẳng (d) sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu (S) thỏa mãn \(\angle AMB = {60^0}\), \(\angle BMC = {90^0}\), \(\angle CMA = {120^0}\). Tính \(Q = a + b - c\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Đặt \(MA = MB = MC = x\), tính AB, AC, BC theo x và chứng minh tam giác ABC vuông.
Gọi H là trung điểm AC, chứng minh I, H, M thẳng hàng.
Tính IM. Tham số hóa tọa độ điểm M theo biến t và tìm t.
Tính Q.
Ta có: \(MA = MB = MC\) (tính chất tiếp tuyến cắt nhau).
Đặt \(MA = MB = MC = x\).
+ Tam giác MAB có: \(\angle AMB = {60^0}\) => Tam giác MAB đều => AB = x.
+ Tam giác MBC có: \(\angle BMC = {90^0}\) => Tam giác MBC vuông tại M \( \Rightarrow BC = x\sqrt 2 \).
+ Tam giác MCA có: \(\angle MCA = {120^0}\), áp dụng định lí cosin trong tam giác \( \Rightarrow CA = x\sqrt 3 \).
\( \Rightarrow A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\) => Tam giác ABC vuông tại B (định lí Pytago đảo).
Gọi H là trung điểm của AC => H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
\( \Rightarrow MH \bot \left( {ABC} \right)\).
Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( { - 1;2;3} \right)\), bán kính \(R = 4\sqrt 3 \).
Chóp I.ABC có IA = IB = IC nên \(IH \bot \left( {ABC} \right)\)
=> I, H, M thẳng hàng.
=> I, A, M, C đồng phẳng.
Ta có: MI là phân giác của góc AMC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow \angle AMI = {60^0}\)
\( \Rightarrow IM = \dfrac{{AI}}{{\sin {{60}^0}}} = 8\).
Gọi \(M\left( { - 1 + t;2 + t;3 + \sqrt 2 t} \right) \in d\). Ta có: \(\overrightarrow {IM} = \left( {t;t;\sqrt 2 t} \right)\).
\( \Rightarrow I{M^2} = {t^2} + {t^2} + 2{t^2} = 4{t^2} = 64 \Leftrightarrow {t^2} = 16 \Leftrightarrow t = 4\).
Vậy \(Q = a + b - c = - 1 + t + 2 + t - 3 - \sqrt 2 t = \left( {2 - \sqrt 2 } \right)t - 2 = 6 - 4\sqrt 2 \).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
