Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 3a, góc \(\angle SAB = \angle SCB =
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 3a, góc \(\angle SAB = \angle SCB = {90^0}\) và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng \(a\sqrt 6 \). Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Gọi I là trung điểm của SB. Chứng minh IA = IB = IC = IS => I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.
Gọi H là trung điểm AC, chứng minh \(IH \bot \left( {ABC} \right)\).
Dựng khoảng cách từ H đến (SBC), sử dụng \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right)\).
Sử dụng định lí Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông tính bán kính mặt cầu IC.
Thể tích khối cầu bán kính R là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\).
Gọi I là trung điểm của SB.
Tam giác SAB vuông tại A nên IA = IB = IS.
Tam giác SBC vuông tại C nên IB = IC = IS.
=> IA = IB = IC = IS => I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.
=> Chóp I.ABC có các cạnh bên bằng nhau.
Gọi H là trung điểm của AC => H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
\( \Rightarrow IH \bot \left( {ABC} \right)\).
Gọi K là trung điểm của BC, trong (IHK) kẻ \(HP \bot IK\) \( \Rightarrow HP \bot \left( {SBC} \right)\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right) = 2HP = a\sqrt 6 \\ \Rightarrow HP = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\end{array}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông IHK có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{H{I^2}}} = \dfrac{1}{{H{P^2}}} - \dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{4}{{6{a^2}}} - \dfrac{4}{{9{a^2}}} = \dfrac{2}{{9{a^2}}}\\ \Rightarrow HI = \dfrac{{3a}}{{\sqrt 2 }}\\AC = 3a\sqrt 2 \Rightarrow HC = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}\\ \Rightarrow IC = \sqrt {I{H^2} + H{C^2}} = 3a = R\end{array}\)
Vậy thể tích mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC là: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi .{\left( {3a} \right)^3} = 36\pi {a^3}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
