Xét hai số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {\left( {{z_1} - 2 - i} \right)\left( {2 + 2\sqrt 3 i}
Xét hai số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {\left( {{z_1} - 2 - i} \right)\left( {2 + 2\sqrt 3 i} \right)} \right| = \left| {\left( {{z_1} - \overline {{z_1}} } \right)\left( {\sqrt 3 - i} \right)} \right|\) và \(\left| {{z_2} + i} \right| = \left| {{z_2} + 1 + 2i} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right|\) bằng
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Gọi \({z_1} = {x_1} + {y_1}i,\,\,{z_2} = {x_2} + {y_2}i\). Tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức \({z_1},\,\,{z_2}\).
Tham số hóa tọa độ điểm M, sử dụng phương pháp hình học.
Gọi \({z_1} = {x_1} + {y_1}i,\,\,{z_2} = {x_2} + {y_2}i\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left| {\left( {{z_1} - 2 - i} \right)\left( {2 + 2\sqrt 3 i} \right)} \right| = \left| {\left( {{z_1} - \overline {{z_1}} } \right)\left( {\sqrt 3 - i} \right)} \right|\\ \Leftrightarrow 4\left| {{z_1} - 2 - i} \right| = 2\left| {{z_1} - \overline {{z_1}} } \right|\\ \Leftrightarrow 2\left| {{z_1} - 2 - i} \right| = \left| {{z_1} - \overline {{z_1}} } \right|\\ \Leftrightarrow 2\left| {{x_1} - 2 + \left( {{y_1} - 1} \right)i} \right| = \left| {{x_1} + {y_1}i - {x_1} + {y_1}i} \right|\\ \Leftrightarrow 4{\left( {{x_1} - 2} \right)^2} + 4{\left( {{y_1} - 1} \right)^2} = 4y_1^2\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - 2} \right)^2} + {\left( {{y_1} - 1} \right)^2} = y_1^2\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 4{x_1} + 4 - 2{y_1} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 4{x_1} - 2{y_1} + 5 = 0\\ \Leftrightarrow {y_1} = \dfrac{1}{2}x_1^2 - 2{x_1} + \dfrac{5}{2}\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức \({z_1}\) là parabol \(y = \dfrac{1}{2}{x^2} - 2x + \dfrac{5}{2}\,\,\left( P \right)\).
Ta lại có: \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = MN\).
Gọi \(M\left( {m;\dfrac{1}{2}{m^2} - 2m + \dfrac{5}{2}} \right) \in \left( P \right)\). Khi đó MN min khi \(MN = d\left( {M;d} \right)\).
Ta có: \(d\left( {M;d} \right) = \dfrac{{\left| {m + \dfrac{1}{2}{m^2} - 2m + \dfrac{5}{2}} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}{m^2} - m + \dfrac{9}{2}}}{{\sqrt 2 }}\).
Ta có: \(\dfrac{1}{2}{m^2} - m + \dfrac{9}{2} = \dfrac{1}{2}\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) + 4 = \dfrac{1}{2}{\left( {m - 1} \right)^2} + 4 \ge 4\).
\( \Rightarrow d\left( {M;d} \right) \ge \dfrac{4}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow m = 1\).
Vậy \(M{N_{\min }} = 2\sqrt 2 \).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
