Có bao nhiêu số nguyên dương a thoả mãn \(\left( {\sqrt {1 + {{\ln }^2}a} + \ln a} \right)\left( {\sqrt
Có bao nhiêu số nguyên dương a thoả mãn \(\left( {\sqrt {1 + {{\ln }^2}a} + \ln a} \right)\left( {\sqrt {1 + {{\left( {a - 3} \right)}^2}} + a - 3} \right) \le 1\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Sử dụng phương pháp xét hàm đặc trưng.
Đặt \(t = \ln a \Rightarrow \sqrt {1 + \ln {a^2}} + \ln a = \sqrt {1 + {t^2}} + t = f\left( t \right)\).
Ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{t}{{\sqrt {1 + {t^2}} }} + 1 = \dfrac{{t + \sqrt {1 + {t^2}} }}{{\sqrt {1 + {t^2}} }}\).
Giải \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {1 + {t^2}} = - t \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - t \ge 0\\1 + {t^2} = {t^2}\,\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow f'\left( t \right) > 0\) với mọi t.
BBT:
Từ BBT \( \Rightarrow f\left( t \right) > 0\,\,\forall t\).
Do đó ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {\sqrt {1 + {{\ln }^2}a} + \ln a} \right)\left( {\sqrt {1 + {{\left( {a - 3} \right)}^2}} + a - 3} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {1 + {{\left( {a - 3} \right)}^2}} + a - 3 \le \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {{\ln }^2}a} + \ln a}}\\ \Leftrightarrow \sqrt {1 + {{\left( {a - 3} \right)}^2}} + a - 3 \le \sqrt {1 + {{\ln }^2}a} - \ln a\\ \Leftrightarrow \sqrt {1 + {{\left( {a - 3} \right)}^2}} + a - 3 \le \sqrt {1 + {{\left( { - \ln a} \right)}^2}} + \left( { - \ln a} \right)\end{array}\)
Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = \sqrt {1 + {t^2}} + t\).
Theo chứng minh ở trên ta có \(f'\left( t \right) > 0\,\,\forall t\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( {a - 3} \right) \le f\left( { - \ln a} \right)\\ \Leftrightarrow a - 3 \le - \ln a\\ \Leftrightarrow a - 3 + \ln a \le 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Đặt \(g\left( a \right) = a - 3 + \ln a,\,\,a > 0\) ta có \(g'\left( a \right) = 1 + \dfrac{1}{a} > 0\,\,\forall a > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
BBT:
Với \({a_0} \approx 2,21\).
Do đó bpt (*) có nghiệm \( \Rightarrow a \le 2,21\).
Mà a là số nguyên dương \( \Rightarrow a = 1\) hoặc \(a = 2\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
