Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A_1}{B_1}{C_1}\) có \({A_1}\left( {\sqrt 3 ; -

Câu hỏi số 574646:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A_1}{B_1}{C_1}\) có \({A_1}\left( {\sqrt 3 ; - 1;1} \right)\), hai đỉnh B, C thuộc trục Oz và \(A{A_1} = 1\) (C không trùng với O). Biết \(\overrightarrow u = \left( {a;b;1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({A_1}C\). Giá trị của \({a^2} + {b^2}\) bằng

A. 16

B. 5

C. 9

D. 4

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:574646

Phương pháp giải

Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh \(BC \bot \left( {AM{A_1}} \right)\).

Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {AM{A_1}} \right)\).

Tìm toạ độ điểm \(M = Oz \cap \left( {AM{A_1}} \right)\).

Gọi \(B\left( {0;0;k} \right) \in Oz\), suy ra toạ độ điểm C theo k.

Tính \({A_1}M\), từ đó tính \(AM,\,\,BC\).

Giải phương trình độ dài BC, tìm k.

Tính \(\overrightarrow {{A_1}C} \), suy ra \(\overrightarrow u \) và các giá trị \(a,\,\,b\).

Giải chi tiết

Gọi M là trung điểm của BC ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot A{A_1}\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AM{A_1}} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {AM{A_1}} \right)\) đi qua \({A_1}\) và nhận \(\overrightarrow k \left( {0;0;1} \right)\) là 1 VTPT.

\( \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( {AM{A_1}} \right)\): \(z - 1 = 0\).

Ta có: \(M = Oz \cap \left( {AM{A_1}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = {y_M} = 0\\{z_M} - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {0;0;1} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {{A_1}M} = \left( { - \sqrt 3 ;1;0} \right) \Rightarrow {A_1}M = 2\).

\( \Rightarrow AM = \sqrt {{A_1}{M^2} - {A_1}{A^2}} = \sqrt {4 - 1} = \sqrt 3 \).

Mà tam giác ABC đều \( \Rightarrow AM = \dfrac{{BC\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BC = \dfrac{{2AM}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 2\).

Gọi \(B\left( {0;0;k} \right) \in Oz\). Vì \(M\left( {0;0;1} \right)\) là trung điểm của BC \( \Rightarrow C\left( {0;0;2 - k} \right)\,\,\left( {C \ne O \Rightarrow 2 - k \ne 0 \Leftrightarrow k \ne 2} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {BC} = \left( {0;0;2 - 2k} \right) \Rightarrow BC = \left| {2 - 2k} \right| = 2\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - 2k = 2\\2 - 2k = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 0\\k = 2\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B\left( {0;0;0} \right)\\C\left( {0;0;2} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{A_1}C} = \left( { - \sqrt 3 ;1;1} \right) = \overrightarrow u \) là 1 VTCP của \({A_1}C\).

\( \Rightarrow a = - \sqrt 3 ,\,\,b = 1\) nên \({a^2} + {b^2} = 4\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.