Cho phương trình \({\log _a}4 + {\log _{\dfrac{1}{5}}}\left( {\sqrt {{x^2} + ax + 2} + 4} \right).{\log
Cho phương trình \({\log _a}4 + {\log _{\dfrac{1}{5}}}\left( {\sqrt {{x^2} + ax + 2} + 4} \right).{\log _a}\left( {{x^2} + ax + 5} \right) = 0\). Gọi \(S\) là tập các giá trị nguyên của tham số \(a\) để phương trình có nghiệm duy nhất. Tổng các phần tử của \(S\) bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Đặt \(\sqrt {{x^2} + ax + 2} = t\left( {t \ge 0} \right)\).
Phương trình đã cho trở thành \({\log _a}4 - {\log _5}\left( {t + 4} \right).{\log _a}\left( {{t^2} + 3} \right) = 0\).
Cô lập tham số \(a\) để tìm điều kiện để phương trình có nghiệm duy nhất.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\a \ne 1\\a \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\) nên ta chỉ xét với \(a \ge 2,\,\,a \in \mathbb{Z}\).
Đặt \(\sqrt {{x^2} + ax + 2} = t\left( {t \ge 0} \right)\).
Phương trình đã cho trở thành \({\log _a}4 - {\log _5}\left( {t + 4} \right).{\log _a}\left( {{t^2} + 3} \right) = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _5}\left( {t + 4} \right).\dfrac{{{{\log }_a}\left( {{t^2} + 3} \right)}}{{{{\log }_a}4}} = 1\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {t + 4} \right).{\log _4}\left( {{t^2} + 3} \right) = 1\end{array}\)
Xét \(f\left( t \right) = {\log _5}\left( {t + 4} \right).{\log _4}\left( {{t^2} + 3} \right),\,\,t \ge 0\)
\(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{\left( {t + 4} \right)\ln 5}}.{\log _4}\left( {{t^2} + 3} \right) + {\log _5}\left( {t + 4} \right).\dfrac{{2t}}{{\left( {{t^2} + 3} \right)\ln 4}} > 0,\,\,\forall t \ge 0\)
Do đó hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).
Mà \(f\left( 1 \right) = 1\) nên \(t = 1 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + ax + 2} = 1 \Rightarrow {x^2} + ax + 2 = 1\,\,\left( 1 \right)\).
Xét \(x = 0\) không thỏa mãn (1).
Xét \(x \ne 0\): \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x + \dfrac{1}{x} = - a\)
Xét hàm số \(g\left( x \right) = x + \dfrac{1}{x},\,\,x \ne 0\)
\(g'\left( x \right) = 1 - \dfrac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất khi \(a = \pm 2\).
Mà \(a \ge 2 \Rightarrow a = 2\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
