Cho hình nón đỉnh \(S\) có đáy là đường tròn tâm \(O\), thiết diện qua trục là tam giác đều.

Câu hỏi số 574730:

Vận dụng

Cho hình nón đỉnh \(S\) có đáy là đường tròn tâm \(O\), thiết diện qua trục là tam giác đều. Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(S\) và cắt đường tròn tại \(A,\,\,B\) sao cho góc \(\angle AOB = {120^0}\). Biết khoảng cách từ \(O\) đến \(\left( P \right)\) bằng \(\dfrac{{3\sqrt {39} a}}{{13}}\). Diện tích toàn phần của hình nón đã cho bằng

A. \(18\pi {a^2}\).

B. \(27\pi {a^2}\).

C. \(12\pi {a^2}\).

D. \(\dfrac{{8\sqrt 2 }}{3}{a^3}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:574730

Phương pháp giải

- Gọi \(l,\,\,r\) lần lượt là đường sinh và bán kính đáy của hình nón.

- Dựa vào giả thiết suy ra \(l = 2r\).

- Dựa vào khoảng cách của \(O\) đến \(\left( P \right)\) tính \(r\) theo \(a\).

- Tính diện tích toàn phần của hình nón.

Giải chi tiết

Gọi \(l,\,\,r\) lần lượt là đường sinh và bán kính đáy của hình nón.

Vì thiết diện qua trục là tam giác đều nên \(l = 2r \Rightarrow SO = h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = r\sqrt 3 \).

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\). Khi đó \(OE \bot AB\)

Mà \(SO \bot AB \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SOE} \right)\)

Kẻ \(OH \bot SE\,\,\left( {H \in SE} \right)\). Khi đó \(OH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow OH = d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{{3\sqrt {39} a}}{{13}}\).

Theo định lý cosin ta có: \(AB = \sqrt {O{A^2} + O{B^2} - 2OA.OB\cos \angle AOB} = r\sqrt 3 \Rightarrow AE = \dfrac{{r\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow OE = \sqrt {{r^2} - \dfrac{{3{r^2}}}{4}} = \dfrac{r}{2}\).

Ta có: \(OH = \dfrac{{SO.OE}}{{\sqrt {S{O^2} + O{E^2}} }} = \dfrac{{r\sqrt 3 .\dfrac{r}{2}}}{{\sqrt {3{r^2} + \dfrac{{{r^2}}}{4}} }} = \dfrac{{r\sqrt {39} }}{{13}}\).

Khi đó \(\dfrac{{r\sqrt {39} }}{{13}} = \dfrac{{3\sqrt {39} a}}{{13}} \Rightarrow r = 3a \Rightarrow l = 6a\)

Diện tích toàn phần của hình nón đã cho là \({S_{tp}} = \pi r\left( {r + l} \right) = \pi .3a.\left( {3a + 6a} \right) = 27\pi {a^2}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.