Cho khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có \(AC = 4a\), hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right),\,\,\left(

Câu hỏi số 574731:

Vận dụng

Cho khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có \(AC = 4a\), hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right),\,\,\left( {SBC} \right)\) tạo với nhau một góc \({60^0}\). Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A. \(\dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}{a^3}\).

B. \(2\sqrt 2 {a^3}\).

C. \(16{a^3}\).

D. \(\dfrac{{8\sqrt 2 }}{3}{a^3}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:574731

Phương pháp giải

- Kẻ \(OH \bot SB\,\,\left( {H \in SB} \right)\)

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right),\,\,\left( {SBC} \right)\).

- Xét 2 TH: \(\angle AHC = {60^0},\,\,\angle AHC = {120^0}\).

- Dựa vào giả thiết tính được chiều cao \(SO\) của chóp.

- Tính thể tích của khối chóp.

Giải chi tiết

Gọi \(O\) là tâm của đáy \(ABCD\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SO \bot AC\\AC \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow AC \bot SB\,\,\left( 1 \right)\)

Kẻ \(OH \bot SB\,\,\left( {H \in SB} \right)\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) ta được \(\left( {AHC} \right) \bot SB\).

Khi đó \(\left( {\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right)} \right) = \left( {AH,CH} \right)\).

TH1: \(\angle AHC = {60^0}\).

Khi đó \(\Delta AHC\) đều. Suy ra \(OH = \dfrac{{AC\sqrt 3 }}{2} = 2a\sqrt 3 > OB = 2a\)(vô lí).

Như vậy \(\angle AHC = {120^0}\).

Khi đó \(OH = OC\tan {30^0} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\).

Hơn nữa: \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{S^2}}} \Rightarrow \dfrac{3}{{4a}} = \dfrac{1}{{4a}} + \dfrac{1}{{O{S^2}}} \Rightarrow OS = a\sqrt 2 \)

Thể tích khối chóp đã cho bằng \(V = \dfrac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO = \dfrac{1}{3}.{\left( {2a\sqrt 2 } \right)^2}.a\sqrt 2 = \dfrac{{8{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.