Trên tập số phức, xét phương trình \({z^2} - 2az + {b^2} - 20 = 0\) với \(a,\,\,b\) là các tham số

Câu hỏi số 574732:

Vận dụng cao

Trên tập số phức, xét phương trình \({z^2} - 2az + {b^2} - 20 = 0\) với \(a,\,\,b\) là các tham số nguyên dương. Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \({z_1} + 3i{z_2} = 7 + 5i\) thì giá trị biểu thức \(7a + 5b\) bằng

A. 19.

B. 17.

C. 32.

D. 40.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:574732

Phương pháp giải

- Tính \(\Delta ' = {a^2} - {b^2} + 20\).

- Xét 2 TH \(\Delta ' > 0,\,\,\Delta ' < 0\).

- Chú ý: Với phương trình phức bậc hai có hệ số thực thì nếu \(z\) là nghiệm thì \(\overline z \) cũng là nghiệm.

Giải chi tiết

Ta có: \(\Delta ' = {a^2} - {b^2} + 20\)

Nếu \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} + 20 > 0\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt.

Theo định lí Viete ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 2a\\{z_1}{z_2} = {b^2} - 20\end{array} \right.\)

Khi đó \({z_1} + 3i{z_2} = 7 + 5i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 7\\{z_2} = \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\)

Do đó: \(\left\{ \begin{array}{l}2a = 7 + \dfrac{5}{3} = \dfrac{{26}}{3}\\{b^2} - 20 = \dfrac{{35}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{13}}{3} \notin \mathbb{N}*\\b = \dfrac{{\sqrt {285} }}{3} \notin \mathbb{N}*\end{array} \right.\)

Nếu \(\Delta ' < 0 \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} + 20 < 0\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phức phân biệt thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 2a\\{z_1}{z_2} = {b^2} - 20\end{array} \right.\)

Giả sử \({z_1} = x + yi,\,\,x,y \in \mathbb{R} \Rightarrow {z_2} = x - yi\)

Khi đó \({z_1} + 3i{z_2} = 7 + 5i \Rightarrow x + yi + 3i\left( {x - yi} \right) = 7 + 5i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 7\\3x + y = 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\)

Suy ra \({z_1} = 1 + 2i,\,\,{z_2} = 1 - 2i\)

Như vậy \(\left\{ \begin{array}{l}2a = {z_1} + {z_2} = 2\\{b^2} - 20 = {z_1}{z_2} = 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 5\end{array} \right.\)

Vậy \(7a + 5b = 7.1 + 5.5 = 32\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.