Cho hai số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 2 - 2i} \right| = \dfrac{1}{8}\) và \(\left|

Câu hỏi số 574734:

Vận dụng cao

Cho hai số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 2 - 2i} \right| = \dfrac{1}{8}\) và \(\left| {{z_2} - 1} \right| + \left| {{z_2} + 1} \right| = 2\sqrt 5 \). Số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {2z + 2 - 5i} \right| = \left| {2z + 3 - 6i} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\left| {z - 2{z_1}} \right| + \left| {z - {z_2}} \right|\) bằng

A. \(\dfrac{{23}}{4}\).

B. \(\dfrac{{13}}{2}\).

C. \(\dfrac{{11}}{2}\).

D. 5.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:574734

Phương pháp giải

- Gọi \(M\left( z \right),\,\,N\left( {2{z_1}} \right),\,\,P\left( {{z_2}} \right)\).

- Biểu diễn các điểm \(M,\,\,N,\,\,P\) trên mặt phẳng phức.

- Tìm giá trị nhỏ nhất của \(MN + MP\).

Giải chi tiết

Gọi \(M\left( z \right),\,\,N\left( {2{z_1}} \right),\,\,P\left( {{z_2}} \right)\).

Giả sử \(z = x + yi,\,\,x,y \in \mathbb{R},\,\,{z_1} = {x_1} + {y_1}i,\,\,{z_2} = {x_2} + {y_2}i,\,\,{x_j},{y_j} \in \mathbb{R},\,\,j = 1;2\).

Từ giả thiết ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {2x + 2 + \left( {2y - 5} \right)i} \right| = \left| {2x + 3 + \left( {2y - 6} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {2x + 2} \right)^2} + {\left( {2y - 5} \right)^2} = {\left( {2x + 3} \right)^2} + {\left( {2y - 6} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 8x - 20y + 29 = 12x - 24y + 45\\ \Leftrightarrow x - y + 4 = 0\end{array}\)

Khi đó \(M \in \left( d \right):y = x + 4\).

Lại có: \(\left| {{z_1} - 2 - 2i} \right| = \dfrac{1}{8} \Rightarrow \left| {2{z_1} - 4 - 4i} \right| = \dfrac{1}{4}\)

Khi đó \(N \in \left( C \right):{\left( {{x_1} - 4} \right)^2} + {\left( {{y_1} - 4} \right)^2} = \dfrac{1}{{16}}\) tâm \(I\left( {4;4} \right),\,\,R = \dfrac{1}{4}\).

Gọi \({F_1}\left( { - 1;0} \right),\,\,{F_2}\left( {1;0} \right)\).

Theo giả thiết ta có \(P{F_1} + P{F_2} = 2\sqrt 5 \).

Mà \({F_1}{F_2} = 2\) nên \(B \in \left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{5} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\)

Gọi \(J,\,\,F\) lần lượt là điểm đối xứng với \(I,\,\,N\) qua \(\left( d \right)\).

Khi đó ta được đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) tâm \(J\left( {0;8} \right)\), \(R = \dfrac{1}{4}\).

Xét \(P = \left| {z - 2{z_1}} \right| + \left| {z - {z_2}} \right| = MN + MP = MF + MP \ge AB = \dfrac{{23}}{4},\,\,A\left( {0;\dfrac{{31}}{4}} \right),\,\,B\left( {0;2} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.