Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2; - 2;6} \right),\,\,B\left( {3;3; - 9} \right)\) và mặt

Câu hỏi số 574735:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2; - 2;6} \right),\,\,B\left( {3;3; - 9} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z - 12 = 0\). Điểm \(M\) di động trên \(\left( P \right)\) sao cho \(MA,\,\,MB\) luôn tạo với \(\left( P \right)\) các góc bằng nhau. Biết \(M\) luôn thuộc một dường tròn cố định. Tung độ của tâm đường tròn bằng

A. \(\dfrac{2}{3}\).

B. \( - \dfrac{2}{3}\).

C. \(0\).

D. \( - 12\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:574735

Phương pháp giải

- Dựa vào giả thiết suy ra \(MA = 2MB \Rightarrow M{A^2} = 4M{B^2}\).

- Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} - 4\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \). Tìm được tọa độ \(I\).

- Chứng minh \(M{A^2} - 4M{B^2} = - 3M{I^2} + I{A^2} - 4I{B^2} = 0 \Rightarrow \dfrac{{I{A^2} - 4I{B^2}}}{3} = I{M^2}\).

- Tọa độ tâm đường tròn cố định chứa \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(\left( P \right)\).

Giải chi tiết

Gọi \({A_1},\,\,{B_1}\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,\,\,B\) trên \(\left( P \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi \(MA,\,\,MB\) với \(\left( P \right)\).

Ta có: \(A{A_1} = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.2 + 2.\left( { - 2} \right) - 6 - 12} \right|}}{3} = 6,\,\,B{B_1} = \dfrac{{\left| {2.3 + 2.3 + 9 - 12} \right|}}{3} = 3\)

Lại có: \(\sin \alpha = \dfrac{{A{A_1}}}{{AM}} = \dfrac{{B{B_1}}}{{BM}} \Rightarrow \dfrac{6}{{AM}} = \dfrac{3}{{BM}} \Rightarrow MA = 2MB \Rightarrow M{A^2} = 4M{B^2}\).

Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} - 4\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \). Khi đó \(I\left( {\dfrac{{10}}{3};\dfrac{{14}}{3}; - 14} \right)\)

Ta có: \(M{A^2} - 4M{B^2} = - 3M{I^2} + I{A^2} - 4I{B^2} = 0 \Rightarrow \dfrac{{I{A^2} - 4I{B^2}}}{3} = I{M^2}\)

Do \(I,\,\,A,\,\,B\) cố định nên \(M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\), bán kính \(R = \sqrt {\dfrac{{I{A^2} - 4I{B^2}}}{3}} \).

Mà \(M \in \left( P \right)\) nên \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\).

Gọi \(J\) là tâm của \(\left( C \right)\). Khi đó \(J\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(\left( P \right)\).

Phương trình đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) là \(\dfrac{{x - \dfrac{{10}}{3}}}{2} = \dfrac{{y - \dfrac{{14}}{3}}}{2} = \dfrac{{z + 14}}{{ - 1}}\).

Khi đó \(I\left( {2t + \dfrac{{10}}{3};2t + \dfrac{{14}}{3}; - t - 14} \right)\).

Mà \(I \in \left( P \right)\) nên \(2\left( {2t + \dfrac{{10}}{3}} \right) + 2\left( {2t + \dfrac{{14}}{3}} \right) + t + 14 - 12 = 0 \Rightarrow t = - 2\).

Vậy \(I\left( { - \dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}; - 12} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.