Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số phức \(z\) sao cho số phức \(w = \dfrac{{z + 2}}{{z - 2i}}\) là

Câu hỏi số 575555:

Vận dụng cao

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số phức \(z\) sao cho số phức \(w = \dfrac{{z + 2}}{{z - 2i}}\) là số thuần ảo. Xét các số phức \({z_1},{z_2} \in S\) thoả mãn \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \sqrt 3 \), giá trị lớn nhất của \(P = {\left| {{z_1} + 6} \right|^2} - {\left| {{z_2} + 6} \right|^2}\) bằng

A. \(2\sqrt {15} \).

B. \(4\sqrt {15} \).

C. \(2\sqrt {78} \).

D. \(\sqrt {78} \).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:575555

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tích vô hướng của hai vec tơ: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\).

Giải chi tiết

Giả sử \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\).

Ta có: \(w = \dfrac{{z + 2}}{{z - 2i}} = \dfrac{{a + 2 + bi}}{{a + \left( {b - 2} \right)i}} = \dfrac{{\left( {\left( {a + 2} \right) + bi} \right)\left( {a - \left( {b - 2} \right)i} \right)}}{{\left( {a + \left( {b - 2} \right)i} \right)\left( {a - \left( {b - 2} \right)i} \right)}}\) (\(z \ne 2i\))

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{a\left( {a + 2} \right) - \left( {a + 2} \right)\left( {b - 2} \right)i + abi + b\left( {b - 2} \right)}}{{{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{a\left( {a + 2} \right) + b\left( {b - 2} \right)}}{{{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}}} + \dfrac{{ - \left( {a + 2} \right)\left( {b - 2} \right) + ab}}{{{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}}}i\end{array}\).

\(w\) là số thuần ảo \( \Rightarrow \dfrac{{a\left( {a + 2} \right) + b\left( {b - 2} \right)}}{{{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}}} = 0\).

\( \Rightarrow {a^2} + 2a + {b^2} - 2b = 0 \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 2\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 2 \).

Gọi \(A,B\) lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức \({z_1},{z_2}\). Theo đề bài, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A,B \in \left( C \right)\\AB = \sqrt 3 \end{array} \right.\).

Ta có: \(P = {\left| {{z_1} + 6} \right|^2} - {\left| {{z_2} + 6} \right|^2} = A{M^2} - B{M^2}\) (trong đó, \(M\left( { - 6;0} \right)\) là điểm biểu diễn của số phức \( - 6\)).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = {\overrightarrow {AM} ^2} - {\overrightarrow {BM} ^2} = {\left( {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IM} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {BI} + \overrightarrow {IM} } \right)^2}\\ = A{I^2} + 2.\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {IM} + I{M^2} - B{I^2} - 2.\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {IM} - I{M^2} = 2.\left( {\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {BI} } \right).\overrightarrow {IM} \\ = 2.\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {IM} = 2.AB.IM.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {IM} } \right)\\ = 2.\sqrt 3 .\sqrt {26} .\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {IM} } \right) = 2\sqrt {78} \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {IM} } \right) \le 2\sqrt {78} .\end{array}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\overrightarrow {BA} \) cùng hướng \(\overrightarrow {IM} \).

Vậy giá trị lớn nhất của \(P = {\left| {{z_1} + 6} \right|^2} - {\left| {{z_2} + 6} \right|^2}\) là \(2\sqrt {78} \).

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.