Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2}

Câu hỏi số 575603:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\) và điểm \(A\left( {2; - 1;2} \right)\). Từ \(A\) kẻ 3 tiếp tuyến bất kì \(AM,\,\,AN,\,\,AP\) đến \(\left( S \right)\). Gọi \(T\) là điểm thay đổi trên mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) sao cho từ \(T\) kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đến \(\left( S \right)\) và cả hai tiếp tuyến này đều nằm trong \(\left( {MNP} \right)\). Khoảng cách từ \(T\) đến giao điểm của đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 2 - t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.\) với mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) có giá trị nhỏ nhất là

A. \(\dfrac{{27\sqrt 3 }}{{16}} + \dfrac{{3\sqrt 5 }}{2}\).

B. \(\dfrac{{27\sqrt 3 }}{{16}} - \dfrac{{3\sqrt 5 }}{2}\).

C. \(\dfrac{{27\sqrt 3 }}{8} - \dfrac{{3\sqrt 5 }}{2}\).

D. \(\dfrac{{27\sqrt 3 }}{{16}}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:575603

Phương pháp giải

- Viết phương trình mặt phẳng \(MNP\).

- Chứng minh \(T\) thuộc mặt cầu tâm \(D\) bán kính \(R\).

- Gọi \(H\) là giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).

- Giá trị nhỏ nhất của \(HT = DH - R\).

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0;1; - 2} \right),\,\,R = 3\).

Gọi \(D\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MNP\). Khi đó \(ND \bot IA,\,\,A,I,D\) thẳng hàng.

Ta có: \(IA = 2\sqrt 6 \Rightarrow AN = \sqrt {I{A^2} - {R^2}} = \sqrt {24 - 9} = \sqrt {15} \)

Lại có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{D{N^2}}} = \dfrac{1}{{I{N^2}}} + \dfrac{1}{{A{N^2}}} = \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{{15}} \Rightarrow r = DN = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{4}\\ID = \sqrt {I{N^2} - D{N^2}} = \dfrac{{3\sqrt 6 }}{4}\end{array}\)

Khi đó \(\overrightarrow {ID} = \dfrac{3}{8}\overrightarrow {IA} \Rightarrow \overrightarrow {ID} \left( {\dfrac{3}{4}; - \dfrac{3}{4};\dfrac{3}{2}} \right) \Rightarrow D\left( {\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{4}; - \dfrac{1}{2}} \right)\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) là \(x - \dfrac{3}{4} - \left( {y - \dfrac{1}{4}} \right) + 2\left( {z + \dfrac{1}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + 2z + \dfrac{1}{2} = 0\)

Gọi \(X,\,\,Y\) là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ \(T\) đến \(\left( S \right)\).

Khi đó \(DXTY\) là hình vuông và \(TD = r\sqrt 2 = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{2}\).

Như vậy \(T\) thuộc mặt cầu tâm \(D\) bán kính \(TD = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{2}\).

Gọi \(H\) là giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).

Vì \(H \in \Delta \Rightarrow H\left( { - 1 + t;2 - t;1 + 3t} \right)\).

Hơn nữa \(H \in \left( {MNP} \right)\) nên \(t - 1 + t - 2 + 2 + 6t + \dfrac{1}{2} = 0 \Rightarrow t = \dfrac{1}{{16}} \Rightarrow H\left( { - \dfrac{{15}}{{16}};\dfrac{{31}}{{16}};\dfrac{{19}}{{16}}} \right)\)

Ta có: \(HD = \dfrac{{27\sqrt 3 }}{{16}}\).

\(\min \,\,HT = DH - TD = \dfrac{{27\sqrt 3 }}{{16}} - \dfrac{{3\sqrt 5 }}{2}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.