Cho hàm số đa thức bậc bốn \(y = f\left( x \right)\), biết hàm số có ba điểm cực trị \(x = - 3,\,\,x = 3,\,\,x = 5\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{e^{{x^3} + 3{x^2}}} - m} \right)\) có đúng 7 điểm cực trị?

Câu 576320: Cho hàm số đa thức bậc bốn \(y = f\left( x \right)\), biết hàm số có ba điểm cực trị \(x = - 3,\,\,x = 3,\,\,x = 5\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{e^{{x^3} + 3{x^2}}} - m} \right)\) có đúng 7 điểm cực trị?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Câu hỏi : 576320

Quảng cáo

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \(g'\left( x \right) = \left( {3{x^2} + 6x} \right){e^{{x^3} + 3{x^2}}}f'\left( {{e^{{x^3} + 3{x^2}}} - m} \right)\)
\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\\{e^{{x^3} + 3{x^2}}} - m = - 3\\{e^{{x^3} + 3{x^2}}} - m = 3\\{e^{{x^3} + 3{x^2}}} - m = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\\{e^{{x^3} + 3{x^2}}} = m - 3\,\,\,\left( 1 \right)\\{e^{{x^3} + 3{x^2}}} = m + 3\,\,\,\left( 2 \right)\\{e^{{x^3} + 3{x^2}}} = m + 5\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)
Hàm số g(x) có đúng 7 điểm cực trị \( \Leftrightarrow g'\left( x \right) = 0\) có 7 nghiệm bội lẻ \( \Leftrightarrow \) Tổng số nghiệm bội lẻ khác 0 và -2 của các phương trình (1), (2), (3) là 5.
Xét hàm số \(h\left( x \right) = {e^{{x^3} + 3{x^2}}}\) có \(h'\left( x \right) = \left( {3{x^2} + 6x} \right){e^{{x^3} + 3{x^2}}}\)
\(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0,\,\,x = - 2\)
Khi đó có 3 trường hợp sau:
TH1:
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}m + 3 \ge {e^4}\\1 < m - 3 < {e^4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge {e^4} - 3 \approx 51,6\\4 < m < {e^4} + 3 \approx 57,6\end{array} \right.\).
Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {52;53;54;55;56;57} \right\}\).
TH2:
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}m + 5 \ge {e^4}\\1 < m + 3 < {e^4}\\0 < m - 3 \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge {e^4} - 5 \approx 49,6\\ - 2 < m < {e^4} - 3 \approx 51,6\\3 < m \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \).
TH3:
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}1 < m + 5 > {e^4}\\m + 3 \le 1\\m - 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 < m < {e^4} - 5 \approx 49,6\\m \le - 2\\m > 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m \in \emptyset \).
Kết luận: có 6 giá trị nguyên m thỏa mãn ycbt.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.