Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Tiếp
Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Tiếp tuyến tại \(A\) của \(\left( O \right)\) cắt đường thẳng BC tại \(M\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\), \(D\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(OM,\) giao điểm của \(AD\) và \(OM\) là \(H\).
1) Chứng minh tứ giác \(MAOI\) nội tiếp và \(M{D^2} = MB.MC\)
2) Giả sử tiếp tuyến tại \(B\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt \(OI\) tại \(F\). Chứng minh \(MD\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) và ba điểm \(A,D,F\) thẳng hàng.
3) Kẻ đường kính \(DK\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi \(N\) là hình chiếu của \(A\) trên \(DK\). Đường thẳng \(MK\) cắt \(AN\) tại \(E\). Chứng minh rằng \(E\) là trung điểm của \(AN\).
Quảng cáo
1) – Tứ giác có tổng hai góc đối bằng bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.
– MD là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại D
Chứng minh \(\Delta MDC\) đồng dạng \(\Delta MBD\) (g.g)\( \Rightarrow M{D^2} = MB.MC\) (đpcm).
2) - Theo chứng minh ý 1) ta có MD là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).
- Ta sẽ chứng minh \(\angle OHF = \angle OHD = {90^0} \Rightarrow H,D,F\) thằng hàng
3) Ta sẽ chứng minh: \(\dfrac{{EN}}{{GD}} = \dfrac{{AN}}{{MD}} \Rightarrow \dfrac{{EN}}{{AN}} = \dfrac{{GD}}{{MD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow E\) là trung điểm của AN
Cách giải:
1) Chứng minh tứ giác \(MAOI\) nội tiếp và \(M{D^2} = MB.MC\)
* Tứ giác \(MAOI\) nội tiếp
Ta có: \(\angle OAM = {90^o}\) (do \(AM\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(AM \bot OA\))
Do \(I\) là trung điểm của \(BC\) nên \(OI \bot BC\) (liên hệ giữa đường kính và dây cung)
\( \Rightarrow \angle OIC = \angle OIM = {90^o}\)
Khi đó: \(\angle OAM + \angle OIM = {180^o}\) mà \(\angle OAM\) và \(\angle OIM\) là hai góc đối nhau của tứ giác MAOI.
Suy ra tứ giác \(MAOI\) nội tiếp đường tròn (dấu hiệu nhận biết).
*\(M{D^2} = MB.MC\)
Xét \(\Delta AOH\) và \(\Delta DOH\) ta có:
\(OH\) là cạnh chung
\(AH = HD\) (do \(D\) đối xứng với \(A\) qua \(OM\))
\(\angle AHO = \angle DHO = {90^o}\)(do \(D\) đối xứng với \(A\) qua \(OM\))
Suy ra \(\Delta AOH = \Delta DOH\) (c.g.c) \( \Rightarrow OA = OD\) (\(2\) cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow OD\)\( = R\) là bán kính đường tròn \(\left( O \right)\).
\( \Rightarrow D \in \left( O \right)\).
Ta lại có: \(\Delta AOH = \Delta DOH\,\,\left( {cmt} \right)\) \( \Rightarrow \angle OAH = \angle DOH\) (2 góc tương ứng) hay \(\angle AOM = \angle DOM\).
Xét \(\Delta OAM\) và \(\Delta ODM\) có:
\(\begin{array}{l}OA = OD = R\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle AOM = \angle DOM\,\,\left( {cmt} \right)\\OM\,\,chung\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta OAM = \Delta ODM\,\,\left( {c.g.c} \right)\)
\( \Rightarrow \) \(\angle ODM = \angle OAM = {90^0}\)
Ta lại có: \(\Delta AOH = \Delta DOH\,\,\left( {cmt} \right)\) \( \Rightarrow \angle OAH = \angle DOH\) (2 góc tương ứng) hay \(\angle AOM = \angle DOM\).
Xét \(\Delta OAM\) và \(\Delta ODM\) có:
\(\begin{array}{l}OA = OD = R\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle AOM = \angle DOM\,\,\left( {cmt} \right)\\OM\,\,chung\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta OAM = \Delta ODM\,\,\left( {c.g.c} \right)\)
\( \Rightarrow \) \(\angle ODM = \angle OAM = {90^0}\).
\( \Rightarrow MD \bot OD\) \( \Rightarrow MD\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại D.
\( \Rightarrow \angle MDB = \angle MCD\) (hai góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(BD\)).
Xét tam giác \(\Delta MDC\) và \(\Delta MBD\) ta có:
\(\angle CMD\) chung
\(\angle MDB = \angle MCD\) (cmt)
Suy ra \(\Delta MDC\) đồng dạng \(\Delta MBD\) (g.g)
\( \Rightarrow \dfrac{{MD}}{{MB}} = \dfrac{{MC}}{{MD}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\( \Rightarrow M{D^2} = MB.MC\) (đpcm).
2) Giả sử tiếp tuyến tại \(B\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt \(OI\) tại \(F\). Chứng minh \(MD\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) và ba điểm \(A,D,F\) thẳng hàng.
*\(MD\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).
Theo chứng minh ý 1) ta có MD là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).
*Ba điểm \(A,D,F\) thẳng hàng
Trong tam giác \(OAM\) vuông tại \(A\), đường cao \(OH\) ta có: \(O{A^2} = OH.OM\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Trong tam giác \(OBF\) vuông tại \(B\), đường cao \(BI\), ta có: \(O{B^2} = OI.OF\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Suy ra \(OH.OM = OI.OF \Rightarrow \dfrac{{OH}}{{OI}} = \dfrac{{OF}}{{OM}}\).
Xét \(\Delta OMI\) và \(\Delta OFH\) ta có:
\(\dfrac{{OH}}{{OI}} = \dfrac{{OF}}{{OM}}\,\,\left( {cmt} \right)\)
\(\angle IOH\) chung
Suy ra \(\Delta OMI\) đồng dạng \(\Delta OFH\) (c.g.c)
\( \Rightarrow \angle OHF = \angle OIM = {90^o}\) mà \(\angle OHD = {90^o}\) nên \(H,D,F\) thẳng hàng hay \(A,D,F\) thẳng hàng (đpcm).
3) Kẻ đường kính \(DK\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi \(N\) là hình chiếu của \(A\) trên \(DK\). Đường thẳng \(MK\) cắt \(AN\) tại \(E\). Chứng minh rằng \(E\) là trung điểm của \(AN\).
Gọi \(G\) là trung điểm của \(MD.\)
Vì \(O\) là trung điểm \(DK \Rightarrow OG\) là đường trung bình của tam giác \(MDK \Rightarrow OG\) // \(MK.\)
Xét tam giác \(KEN\) và tam giác \(OGD\) có:
\(\angle KNE = \angle ODG = 90^\circ \)
\(\angle EKN = \angle GOD\) (hai góc đồng vị do \(OG\) song song với \(MK\))
Suy ra \(\Delta KEN \sim \Delta OGD\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{EN}}{{GD}} = \dfrac{{KN}}{{OD}}.\,\,\,\,\left( 1 \right)\) (2 cạnh tương ứng)
Xét tam giác \(AKN\) và tam giác \(MOD\) có:
\(\angle ANK = \angle MDO = 90^\circ \)
\(\angle AKN = \angle MOD\,\,\,\left( { = \dfrac{1}{2}sdcAD} \right)\)
Suy ra \(\Delta AKN \sim \Delta MOD\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AN}}{{MD}} = \dfrac{{KN}}{{OD}}\,.\,\,\,\left( 2 \right)\) (2 cạnh tương ứng)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \dfrac{{EN}}{{GD}} = \dfrac{{AN}}{{MD}} \Rightarrow \dfrac{{EN}}{{AN}} = \dfrac{{GD}}{{MD}}.\)
Lại có \(\dfrac{{GD}}{{MD}} = \dfrac{1}{2}\) (do G là trung điểm của MD) \( \Rightarrow \dfrac{{EN}}{{AN}} = \dfrac{1}{2}\).
Vậy E là trung điểm AN (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
