\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {\sqrt {y + 7} } \right)^3} + 4\left( {2x - y} \right) = 2\left( {x + 4} \right)\sqrt

Câu hỏi số 576831:

Vận dụng

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {\sqrt {y + 7} } \right)^3} + 4\left( {2x - y} \right) = 2\left( {x + 4} \right)\sqrt {y + 7} - 4\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2\sqrt {2x + 1} + \sqrt {2y - 14} = x + 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:576831

Phương pháp giải

Từ phương trình \({\left( {\sqrt {y + 7} } \right)^3} + 4\left( {2x - y} \right) = 2\left( {x + 4} \right)\sqrt {y + 7} - 4\) tìm được mối quan hệ của x và y

Thay lần lượt vào phương trình còn lại, tìm được nghiệm của hệ phương trình

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge - \dfrac{1}{2}\\y \ge 7\end{array} \right.\)

Giải (1), ta có:

\({\left( {\sqrt {y + 7} } \right)^3} + 4\left( {2x - y} \right) = 2\left( {x + 4} \right)\sqrt {y + 7} - 4\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {y + 7} \right|\sqrt {y + 7} + 4\left( {2x - y} \right) - 2\left( {x + 4} \right)\sqrt {y + 7} + 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {y + 7} \right)\sqrt {y + 7} + 4\left( {2x - y} \right) - 2\left( {x + 4} \right)\sqrt {y + 7} + 4 = 0\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\,y \ge 7} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {y + 7} \left( {y + 7 - 2x - 8} \right) + 4\left( {2x - y + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {y + 7} \left( { - 2x + y - 1} \right) + 4\left( {2x - y + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x - y + 1} \right)\left( {4 - \sqrt {y + 7} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 - \sqrt {y + 7} = 0\\2x - y + 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {y + 7} = 4\,\,\,\,\,\left( * \right)\\y = 2x + 1\,\,\,\,\,\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Giải (*): \(\sqrt {y + 7} = 4\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow y + 7 = 16\\ \Leftrightarrow y = 9\left( {tmdk} \right)\end{array}\)

+) Với \(y = 9\), thay vào (2) ta được:

\(2\sqrt {2x + 1} + \sqrt {18 - 14} = x + 4\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\sqrt {2x + 1} + 2 = x + 4\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {2x + 1} = x + 2\\ \Leftrightarrow 4\left( {2x + 1} \right) = {x^2} + 4x + 4\,\,\left( {do\,\,x \ge - \dfrac{1}{2} \Rightarrow x + 2 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 - 8x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\,\left( {tmdk} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Hệ có nghiệm \(\left( {x,y} \right) \in \left\{ {\left( {0;9} \right);\left( {4;9} \right)} \right\}\)

+) Với \(y = 2x + 1\), thay vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}2\sqrt {2x + 1} + \sqrt {2\left( {2x + 1} \right) - 14} = x + 4\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {2x + 1} + \sqrt {4x - 12} = x + 4\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {2x + 1} + 2\sqrt {x - 3} = x + 4\\ \Leftrightarrow \sqrt {2x + 1} + \sqrt {x - 3} = \dfrac{{x + 4}}{2}\end{array}\)

Đặt \(a = \sqrt {2x + 1} ;\,\,\,b = \sqrt {x - 3} \) \(\left( {a,b \ge 0} \right)\) \( \Rightarrow x + 4 = {a^2} - {b^2}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}a + b = \dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = 2\left( {a + b} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) - 2\left( {a + b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {a - b - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + b = 0\\a - b - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - b\,\,\left( {loai\,\,do\,\,a,b \ge 0} \right)\\a = b + 2\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(a = b + 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {2x + 1} = \sqrt {x - 3} + 2\\ \Leftrightarrow 2x + 1 = x - 3 + 4 + 4\sqrt {x - 3} \\ \Leftrightarrow x = 4\sqrt {x - 3} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = 16\left( {x - 3} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} - 16x + 48 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 12\\x = 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12\\x = 4\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(x = 12 \Rightarrow y = 2x + 1 = 2.12 + 1 = 25\) (tm)

Với \(x = 4 \Rightarrow y = 2x + 1 = 2.4 + 1 = 9\) (tm)

Hệ có nghiệm \(\left( {x,y} \right) \in \left\{ {\left( {12;25} \right);\left( {4;9} \right)} \right\}\).

Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm \(\left( {x,y} \right) \in \left\{ {\left( {0;9} \right);\left( {4;9} \right);\left( {12;25} \right)} \right\}\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link