\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {\sqrt {y + 7} } \right)^3} + 4\left( {2x - y} \right) = 2\left( {x + 4} \right)\sqrt

Câu hỏi số 576831:

Vận dụng

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {\sqrt {y + 7} } \right)^3} + 4\left( {2x - y} \right) = 2\left( {x + 4} \right)\sqrt {y + 7} - 4\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2\sqrt {2x + 1} + \sqrt {2y - 14} = x + 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:576831

Phương pháp giải

Từ phương trình \({\left( {\sqrt {y + 7} } \right)^3} + 4\left( {2x - y} \right) = 2\left( {x + 4} \right)\sqrt {y + 7} - 4\) tìm được mối quan hệ của x và y

Thay lần lượt vào phương trình còn lại, tìm được nghiệm của hệ phương trình

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge - \dfrac{1}{2}\\y \ge 7\end{array} \right.\)

Giải (1), ta có:

\({\left( {\sqrt {y + 7} } \right)^3} + 4\left( {2x - y} \right) = 2\left( {x + 4} \right)\sqrt {y + 7} - 4\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {y + 7} \right|\sqrt {y + 7} + 4\left( {2x - y} \right) - 2\left( {x + 4} \right)\sqrt {y + 7} + 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {y + 7} \right)\sqrt {y + 7} + 4\left( {2x - y} \right) - 2\left( {x + 4} \right)\sqrt {y + 7} + 4 = 0\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\,y \ge 7} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {y + 7} \left( {y + 7 - 2x - 8} \right) + 4\left( {2x - y + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {y + 7} \left( { - 2x + y - 1} \right) + 4\left( {2x - y + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x - y + 1} \right)\left( {4 - \sqrt {y + 7} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 - \sqrt {y + 7} = 0\\2x - y + 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {y + 7} = 4\,\,\,\,\,\left( * \right)\\y = 2x + 1\,\,\,\,\,\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Giải (*): \(\sqrt {y + 7} = 4\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow y + 7 = 16\\ \Leftrightarrow y = 9\left( {tmdk} \right)\end{array}\)

+) Với \(y = 9\), thay vào (2) ta được:

\(2\sqrt {2x + 1} + \sqrt {18 - 14} = x + 4\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\sqrt {2x + 1} + 2 = x + 4\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {2x + 1} = x + 2\\ \Leftrightarrow 4\left( {2x + 1} \right) = {x^2} + 4x + 4\,\,\left( {do\,\,x \ge - \dfrac{1}{2} \Rightarrow x + 2 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 - 8x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\,\left( {tmdk} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Hệ có nghiệm \(\left( {x,y} \right) \in \left\{ {\left( {0;9} \right);\left( {4;9} \right)} \right\}\)

+) Với \(y = 2x + 1\), thay vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}2\sqrt {2x + 1} + \sqrt {2\left( {2x + 1} \right) - 14} = x + 4\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {2x + 1} + \sqrt {4x - 12} = x + 4\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {2x + 1} + 2\sqrt {x - 3} = x + 4\\ \Leftrightarrow \sqrt {2x + 1} + \sqrt {x - 3} = \dfrac{{x + 4}}{2}\end{array}\)

Đặt \(a = \sqrt {2x + 1} ;\,\,\,b = \sqrt {x - 3} \) \(\left( {a,b \ge 0} \right)\) \( \Rightarrow x + 4 = {a^2} - {b^2}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}a + b = \dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = 2\left( {a + b} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) - 2\left( {a + b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {a - b - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + b = 0\\a - b - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - b\,\,\left( {loai\,\,do\,\,a,b \ge 0} \right)\\a = b + 2\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(a = b + 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {2x + 1} = \sqrt {x - 3} + 2\\ \Leftrightarrow 2x + 1 = x - 3 + 4 + 4\sqrt {x - 3} \\ \Leftrightarrow x = 4\sqrt {x - 3} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = 16\left( {x - 3} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} - 16x + 48 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 12\\x = 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12\\x = 4\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(x = 12 \Rightarrow y = 2x + 1 = 2.12 + 1 = 25\) (tm)

Với \(x = 4 \Rightarrow y = 2x + 1 = 2.4 + 1 = 9\) (tm)

Hệ có nghiệm \(\left( {x,y} \right) \in \left\{ {\left( {12;25} \right);\left( {4;9} \right)} \right\}\).

Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm \(\left( {x,y} \right) \in \left\{ {\left( {0;9} \right);\left( {4;9} \right);\left( {12;25} \right)} \right\}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link