Tính tích phân I =

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 58010:

Tính tích phân I = $\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sqrt{3cotx+1}+x}{sin^{2}x}dx$

A. I = $\frac{\pi }{4}$ - ln $\frac{\sqrt{2}}{2}$ + $\frac{14}{9}$

B. I = ln $\frac{\sqrt{2}}{2}$ + $\frac{14}{9}$

C. I = $\frac{\pi }{4}$ - ln $\frac{\sqrt{2}}{2}$

D. I = $\frac{14}{9}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:58010

Giải chi tiết

I = $\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sqrt{3cotx+1}+x}{sin^{2}x}dx$ = $\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sqrt{3cotx+1}}{sin^{2}x}dx$ + $\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{x}{sin^{2}x}dx$

Tính I₁ = $\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sqrt{3cotx+1}}{sin^{2}x}dx$ . Đặt t = $\sqrt{3cotx+1}$ => - $\frac{2}{3}$ tdt = $\frac{dx}{sin^{2}x}$

Khi x = $\frac{\pi }{4}$ => t=2, x = $\frac{\pi }{2}$ => t=1, suy ra I₁ = - $\int_{1}^{2}$ - $\frac{2}{3}$ t²dt = $\frac{2}{9}$ t³= $\frac{14}{9}$

Tính I2 = $\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{x}{sin^{2}x}dx$ . Đặt $\left\{\begin{matrix} u=x & \\ dv=\frac{dx}{sin^{2}x} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} du=dx & \\ v= - cotx & \end{matrix}\right.$

=> I2 = -xcotx $\left.\begin{matrix} \end{matrix}\right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}$ + $\int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{cosx}{sinx}$ dx = $\frac{\pi }{4}$ + ln│sinx│ $\left.\begin{matrix} \end{matrix}\right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}$ = $\frac{\pi }{4}$ - ln $\frac{\sqrt{2}}{2}$

I = I₁ + I2 = $\frac{\pi }{4}$ - ln $\frac{\sqrt{2}}{2}$ + $\frac{14}{9}$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.