Giải hệ phương trình: (x, y ∊ R)

Câu hỏi số 58248:

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+1})(y+\sqrt{y^{2}+1})=1\\ 2(1-x)\sqrt{x^{2}+x+1}+xy +3x -1=0 \end{matrix}\right.$ (x, y ∊ R)

A. (x;y) = $(\frac{-1-\sqrt{13}}{2};\frac{1+\sqrt{13}}{2});(\frac{-1+\sqrt{13}}{2};\frac{1-\sqrt{13}}{2});(\frac{1-\sqrt{13}}{6};\frac{-1+\sqrt{13}}{6})$

B. (x;y) = $(\frac{-1-\sqrt{13}}{2};\frac{1+\sqrt{13}}{2});(\frac{-1+\sqrt{13}}{2};\frac{1-\sqrt{13}}{2})$

C. (x;y) = $(\frac{-1+\sqrt{13}}{2};\frac{1-\sqrt{13}}{2});(\frac{1-\sqrt{13}}{6};\frac{-1+\sqrt{13}}{6})$

D. (x;y) = $(\frac{-1-\sqrt{13}}{2};\frac{1+\sqrt{13}}{2});(\frac{1-\sqrt{13}}{6};\frac{-1+\sqrt{13}}{6})$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:58248

Giải chi tiết

(1) ,=> x + $\sqrt{1+x^{2}}}$ = -y + $\sqrt{1+y^{2}}$

Xét hàm số f(u) = u + $\sqrt{1+u^{2}}$

Ta có f'(u) = 1 + $\frac{u}{\sqrt{1+u^{2}}}$ = $\frac{\sqrt{1+u^{2}}+u}{\sqrt{1+u^{2}}}>\frac{\left | u \right |+u}{\sqrt{1+u^{2}}}\geq 0\forall u$

=> hàm số f(u) đồng biến trên R

PT(1) có dạng f(x) = f(-y) <=> x = -y

thay y =-x vào PT thứ (2) của hệ ta được:

2(1-x) $\sqrt{x^{2}+x+1}$ = x² -3x+1

Đặt t = $\sqrt{x^{2}+x+1}$ => x² = t²- x -1

PT trở thành t² - 2(1-x)t - 4x = 0 => $\begin{bmatrix} t=2\\ t=-2x \end{matrix}$

Với t=2 ,=> $\sqrt{x^{2}+x+1}$ =2 <=> x² +x +3 =0 <=< x= $\frac{-1\pm \sqrt{13}}{2}$

Với t= 02x <=> $\sqrt{x^{2}+x+1}$ = -2x <=> $\left\{\begin{matrix} x<0\\ 3x^{2}-x-1=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x<0\\ x = \frac{1\pm \sqrt{13}}{6} \end{matrix}\right.$ <=> x = $\frac{1-\sqrt{13}}{6}$

Vậy nghiệm của hệ là (x;y) = $(\frac{-1-\sqrt{13}}{2};\frac{1+\sqrt{13}}{2});(\frac{-1+\sqrt{13}}{2};\frac{1-\sqrt{13}}{2});(\frac{1-\sqrt{13}}{6};\frac{-1+\sqrt{13}}{6})$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.