Tìm số nguyên $x$ để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên: a) \(A =

Câu hỏi số 583856:

Vận dụng

Tìm số nguyên $x$ để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên:

a) $A = \dfrac{{15}}{{\sqrt x - 1}}$

b) $B = \dfrac{2}{{\sqrt x - 2}}$

c) $C = \dfrac{{\sqrt {2x - 3} }}{5}\left( {0 \le x \le 230} \right)$

d) $D = \dfrac{{91\sqrt {\dfrac{5}{2}x + 1} }}{{182}}\left( {0 < x \le 100} \right)$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:583856

Phương pháp giải

Cho $A = \dfrac{m}{n}$ với $m,n \in \mathbb{Z},n \ne 0$

+ Bước 1: Để $A$ nhận giá trị nguyên thì $m \vdots n$ hay $n \in U\left( n \right)$

+ Bước 2: Lập bảng giá trị.

+ Bước 3: Kết luận

* Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên.

Giải chi tiết

a) $A = \dfrac{{15}}{{\sqrt x - 1}}$

Để $A = \dfrac{{15}}{{\sqrt x - 1}} \in \mathbb{Z}$ (Đk: $x \ge 0,x \ne 1$)

$ \Rightarrow 15 \vdots \sqrt x - 1$

Hay $\sqrt x - 1 \in U\left( {15} \right) = \left\{ { - 15; - 5; - 3; - 1;1;3;5;15} \right\}$

Vì $\sqrt x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x - 1 \ge - 1,\forall x$ tmđk

Bảng giá trị:

Vậy $x \in \left\{ {0;4;16;36;256} \right\}$

b) $B = \dfrac{2}{{\sqrt x - 2}}$

Để $B = \dfrac{2}{{\sqrt x - 2}} \in \mathbb{Z}$ (Đk: $x \ge 0,x \ne 4$)

$ \Rightarrow 2 \vdots \sqrt x - 2$

Hay $\sqrt x - 2 \in U\left( 2 \right) = \left\{ { - 2; - 1;1;2} \right\}$

Vì $\sqrt x \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt x - 2 \ge - 2,\forall x$ tmđk

Bảng giá trị:

Vậy $x \in \left\{ {0;1;9;16} \right\}$

c) $C = \dfrac{{\sqrt {2x - 3} }}{5}\left( {0 \le x \le 230} \right)$

Điều kiện: $2x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1.5$. Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \ge 2$.

Để $C$ nguyên, $\sqrt{2x - 3}$ phải chia hết cho $5$.

Đặt $\sqrt{2x - 3} = 5k$ ($k \in \mathbb{N}$).

Bình phương hai vế: $2x - 3 = 25k^2 \Rightarrow 2x = 25k^2 + 3$.

Vì $2x$ là số chẵn nên $25k^2 + 3$ cũng phải chẵn, suy ra $25k^2$ lẻ $\Rightarrow k$ lẻ.

Do $x \le 230 \Rightarrow 2x \le 460 \Rightarrow 25k^2 + 3 \le 460 \Rightarrow 25k^2 \le 457 \Rightarrow k^2 \le 18.28$.

Vì $k$ lẻ và $k^2 \le 18.28$, $k$ chỉ có thể nhận giá trị $1$ hoặc $3$.

Với $k = 1$: $2x = 25(1)^2 + 3 = 28 \Rightarrow x = 14$ (Thỏa mãn).

Với $k = 3$: $2x = 25(3)^2 + 3 = 228 \Rightarrow x = 114$ (Thỏa mãn).

Kết luận: $x \in \{14; 114\}$.

d) $D = \dfrac{{91\sqrt {\dfrac{5}{2}x + 1} }}{{182}}\left( {0 < x \le 100} \right)$

$ = \dfrac{{\sqrt {\dfrac{5}{2}x + 1} }}{2}\left( {0 < x \le 100} \right)$

Để $D$ nguyên, $\sqrt{\frac{5}{2}x + 1}$ phải là một số chẵn dương. Đặt $\sqrt{\frac{5}{2}x + 1} = 2k$ ($k \in \mathbb{Z}^+$).

Bình phương hai vế: $\frac{5}{2}x + 1 = 4k^2 \Rightarrow 5x = 2(4k^2 - 1)$.

Để $x$ nguyên, $2(4k^2 - 1)$ phải chia hết cho $5$. Vì $(2,5)=1$ nên $4k^2 - 1$ chia hết cho $5$.

Ta có giới hạn: $x \le 100 \Rightarrow 5x \le 500 \Rightarrow 2(4k^2 - 1) \le 500 \Rightarrow 4k^2 - 1 \le 250 \Rightarrow k^2 \le 62.75 \Rightarrow k \le 7$.

Thử các giá trị $k$ từ $1$ đến $7$ sao cho $4k^2 - 1$ chia hết cho $5$:

$k = 2 \Rightarrow 4(2)^2 - 1 = 15$ (Thỏa mãn) $\Rightarrow 5x = 2 \cdot 15 = 30 \Rightarrow x = 6$.

$k = 3 \Rightarrow 4(3)^2 - 1 = 35$ (Thỏa mãn) $\Rightarrow 5x = 2 \cdot 35 = 70 \Rightarrow x = 14$.

$k = 7 \Rightarrow 4(7)^2 - 1 = 195$ (Thỏa mãn) $\Rightarrow 5x = 2 \cdot 195 = 390 \Rightarrow x = 78$.

(Các giá trị $k = 1, 4, 5, 6$ không làm $4k^2 - 1$ chia hết cho $5$)

Kết luận: $x \in \{6; 14; 78\}$.

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 7 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link