Tìm số nguyên \(x\) để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên:a) \(A = \dfrac{{15}}{{\sqrt x -

Câu hỏi số 583856:

Vận dụng

Tìm số nguyên \(x\) để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên:

a) \(A = \dfrac{{15}}{{\sqrt x - 1}}\)

b) \(B = \dfrac{2}{{\sqrt x - 2}}\)

c) \(C = \dfrac{{\sqrt {2x - 3} }}{5}\left( {0 \le x \le 230} \right)\)

d) \(D = \dfrac{{91\sqrt {\dfrac{5}{2}x + 1} }}{{182}}\left( {0 < x \le 100} \right)\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:583856

Phương pháp giải

Cho \(A = \dfrac{m}{n}\) với \(m,n \in \mathbb{Z},n \ne 0\)

+ Bước 1: Để \(A\) nhận giá trị nguyên thì \(m \vdots n\) hay \(n \in U\left( n \right)\)

+ Bước 2: Lập bảng giá trị.

+ Bước 3: Kết luận

* Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên.

Giải chi tiết

a) \(A = \dfrac{{15}}{{\sqrt x - 1}}\)

Để \(A = \dfrac{{15}}{{\sqrt x - 1}} \in \mathbb{Z}\) (Đk: \(x \ge 0,x \ne 1\))

\( \Rightarrow 15 \vdots \sqrt x - 1\)

Hay \(\sqrt x - 1 \in U\left( {15} \right) = \left\{ { - 15; - 5; - 3; - 1;1;3;5;15} \right\}\)

Vì \(\sqrt x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x - 1 \ge - 1,\forall x\) tmđk

Bảng giá trị:

Vậy \(x \in \left\{ {0;4;16;36;256} \right\}\)

b) \(B = \dfrac{2}{{\sqrt x - 2}}\)

Để \(B = \dfrac{2}{{\sqrt x - 2}} \in \mathbb{Z}\) (Đk: \(x \ge 0,x \ne 4\))

\( \Rightarrow 2 \vdots \sqrt x - 2\)

Hay \(\sqrt x - 2 \in U\left( 2 \right) = \left\{ { - 2; - 1;1;2} \right\}\)

Vì \(\sqrt x \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt x - 2 \ge - 2,\forall x\) tmđk

Bảng giá trị:

Vậy \(x \in \left\{ {0;1;9;16} \right\}\)

c) \(C = \dfrac{{\sqrt {2x - 3} }}{5}\left( {0 \le x \le 230} \right)\)

Để \(C \in \mathbb{Z} \Rightarrow \sqrt {2x - 3} \vdots 5\) (Đk: \(x \ge \dfrac{3}{2}\))

\( \Rightarrow 2x - 3\) là các số chính phương chia hết cho \(5\)

Mà \(0 \le x < 40 \Rightarrow 2x - 3 \in \left\{ {0;25;100;225} \right\}\)

Bảng giá trị:

Vì \(x\) là số nguyên nên \(x \in \left\{ {14;114} \right\}\)

Vậy \(x \in \left\{ {14;114} \right\}\)

d) \(D = \dfrac{{91\sqrt {\dfrac{5}{2}x + 1} }}{{182}}\left( {0 < x \le 100} \right)\)

\( = \dfrac{{\sqrt {\dfrac{5}{2}x + 1} }}{2}\left( {0 < x \le 100} \right)\)

Để \(D \in \mathbb{Z} \Rightarrow \sqrt {\dfrac{5}{2}x + 1} \vdots 2\)(Đk: \(x \ge \dfrac{{ - 2}}{5}\))

\( \Rightarrow \dfrac{5}{2}x + 1\) là số chính phương chẵn

Mà \(0 < x \le 100\)\( \Rightarrow \dfrac{5}{2}x + 1 \in \left\{ {4;16;36;64;100} \right\}\)

Bảng giá trị:

Vì \(x\) là số nguyên nên \(x \in \left\{ {2;6;14} \right\}\)

Vậy \(x \in \left\{ {2;6;14} \right\}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link