Với \(a,b\) là số thực dương thoả mãn \(ab + a + b = 1\). Chứng minh rằng: \(\sqrt {2\left( {1 + {a^2}}

Câu hỏi số 583860:

Vận dụng

Với \(a,b\) là số thực dương thoả mãn \(ab + a + b = 1\). Chứng minh rằng: \(\sqrt {2\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)} = 2\left( {a + b} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:583860

Phương pháp giải

Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia, ta phải đổi dấu số hạng đó.

Giải chi tiết

Ta có: \(ab + a + b = 1 \Rightarrow ab = 1 - a - b\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {ab} \right)^2} = {\left( {1 - a - b} \right)^2} = \left( {1 - a - b} \right)\left( {1 - a - b} \right)\\\quad \quad \;\;\quad = 1 - a - b - a + {a^2} + ab - b + ab + {b^2}\\\quad \quad \quad \;\; = 1 + {a^2} + {b^2} + 2ab - 2a - 2b\end{array}\)

Lại có: \(\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right) = 1 + {a^2} + {b^2} + {a^2}{b^2}\)

\(\begin{array}{l} = 1 + {a^2} + {b^2} + {\left( {ab} \right)^2}\\ = 1 + {a^2} + {b^2} + {\left( {1 - a - b} \right)^2}\\ = 1 + {a^2} + {b^2} + 1 + {a^2} + {b^2} + 2ab - 2a - 2b\\ = 2 + 2{a^2} + 2{b^2} + 2ab - 2a - 2b\\ = 2\left( {1 + {a^2} + {b^2} + ab - a - b} \right)\\ = 2\left( {{a^2} + {b^2} + 2ab} \right)\\ = 2{\left( {a + b} \right)^2}\end{array}\)

\( \Rightarrow \sqrt {2.\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)} = \sqrt {2.2{{\left( {a + b} \right)}^2}} = \sqrt {4{{\left( {a + b} \right)}^2}} = 2\left( {a + b} \right)\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link