Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm \(I(4;1;2)\) bán kính bằng 2. Gọi M; N là hai điểm lần

Câu hỏi số 585340:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm \(I(4;1;2)\) bán kính bằng 2. Gọi M; N là hai điểm lần lượt thuộc hai trục Ox; Oy sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với (S), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng \(\dfrac{7}{2}\). Gọi A là tiếp điểm của MN và (S), giá trị \(AM.AN\)bằng

A. \(6\sqrt 2 \).

B. \(14\).

C. \(8\).

D. \(9\sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:585340

Phương pháp giải

- Gọi toạ độ của M. N. Tìm biểu thức liên hệ giữa MN.

- Lập phương trình mặt phẳng trung trực đoạn OI, OM, ON.

- Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN, xác định bán kính.

- Từ đó, tìm m, n và tính AM.AN.

Giải chi tiết

Ta có: \(d(I,\left( {Oxy} \right)) = 2\) nên mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) tại \(A(4;1;0)\), đồng thời đường thẳng MN tiếp xúc với (S) cũng tại \(A(4;1;0)\) do \(MN \subset (Oxy)\).

Gọi \(M(m;0;0);\,N(0;n;0),m,n > 0\)

Do \(A \in MN\)nên \(\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AN} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 4 = - 4k\\ - 1 = k(n - 1)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow (m - 4)(n - 1) = 4\).

\( \Leftrightarrow m = \dfrac{{4n}}{{n - 1}},n - 1 \ne 0.\)

Phương trình mặt phẳng trung trực OI: \(4x + y + 2z - \dfrac{{21}}{2} = 0\)

Phương trình mặt phẳng trung trực OM: \(x = \dfrac{m}{2}.\)

Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn ON: \(y = \dfrac{n}{2}.\)

Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN là \(J\left( {\dfrac{m}{2};\dfrac{n}{2};\dfrac{{ - {n^2} + 6n - 21}}{{4n - 4}}} \right)\).

Theo giả thuyết mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính \(\dfrac{7}{2}\)nên \(OJ = \dfrac{7}{2}.\)

\( \Leftrightarrow O{J^2} = \dfrac{{49}}{4}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{4{n^2}}}{{{{(n - 1)}^2}}} + \dfrac{{{n^2}}}{4} + \dfrac{{{{({n^2} - 6n + 21)}^2}}}{{16{{(n - 1)}^2}}} = \dfrac{{49}}{4}\)

\( \Leftrightarrow {n^4} - 4{n^3} - 10{n^2} + 28n + 49 = 0\)

\( \Leftrightarrow n = 1 \pm 2\sqrt 2 \)

Vì n > 0 nên chọn \(n = 1 + 2\sqrt 2 \)suy ra \(m = 4 + \sqrt 2 .\)

Khi đó \(AM.AN = 6\sqrt 2 .\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.