Cho nguyên hàm \(\int {{{\cos }^5}xdx} = a.\sin x + b.{\sin ^3}x + c.{\sin ^5}x + C\) với a, b, c \( \in \mathbb{Q}\). Tính giá trị biểu thức P = a + 3b + 5c.

Câu 585977: Cho nguyên hàm \(\int {{{\cos }^5}xdx} = a.\sin x + b.{\sin ^3}x + c.{\sin ^5}x + C\) với a, b, c \( \in \mathbb{Q}\). Tính giá trị biểu thức P = a + 3b + 5c.

A. P = -1

B. P = 1

C. P = 2

D. P = 0

Câu hỏi : 585977

Quảng cáo

Phương pháp giải:

\({\cos ^5}x = \cos x.{\cos ^4}x = \cos x{\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)^2}\)

Đặt ẩn phụ sinx = t.

Đáp án : D
(2) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}I = \int {{{\cos }^5}xdx} = \int {\cos x.{{\left( {{{\cos }^2}x} \right)}^2}dx} \\\,\,\,\, = \int {\cos x{{\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)}^2}dt} \end{array}\)

Đặt sinx = t => cosxdx = dt.

Thay: \(I = \int {{{\left( {1 - {t^2}} \right)}^2}dt} = \int {\left( {1 - 2{t^2} + {t^4}} \right)dt} \)

\(\begin{array}{l} = t - 2.\dfrac{1}{3}{t^3} + \dfrac{1}{5}{t^5} + C\\ = \sin x - \dfrac{2}{3}{\sin ^3}x + \dfrac{1}{5}{\sin ^5}x + C\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a = 1,\,\,b = - \dfrac{2}{3},\,\,c = \dfrac{1}{5}\\ \Rightarrow P = a + 3b + 5c = 1 + 3.\left( { - \dfrac{2}{3}} \right) + 5.\dfrac{1}{5} = 0\end{array}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.