Cho x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện x2 + y2 +z 2 =1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 58769:

Cho x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện x²+ y²+z ²=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P = $\frac{x^{5}-2x^{3}+x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y^{5}-2y^{3}+y}{y^{2}+z^{2}}+\frac{z^{5}-2z^{3}+z}{x^{2}+y^{2}}$

A. MaxP = $\frac{2\sqrt{5}}{3}$

B. MaxP = - $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

C. MaxP = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

D. MaxP = $\frac{2\sqrt{7}}{3}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:58769

Giải chi tiết

Do x, y, z > 0 và x² + y² + z² =1 nên x, y, z ∊ (0;1)

Ta có $\frac{x^{5}-2x^{3}+x}{y^{2}+z^{2}}=\frac{x(x^{2}-1)}{1-x^{2}}$ = -x³ + x

Khi đó P = (-x³ + x) + (-y³ + y)+ (-z³ + z)

Xét hàm số f(t) = -t³ + t, t ∊ (0;1)

f’(t) = -3t² + 1

$\left\{\begin{matrix} f'(t)=0\\ t\in (0;1) \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix} -3t^{2}+1=0\\ t\in (0;1) \end{matrix}\right.$ <=> t = $\frac{1}{\sqrt{3}}$

Lập bảng biến thiên suy ra max f(t) = $\frac{2\sqrt{3}}{9}$

P ≤ $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ . Vậy giá trị lớn nhất của biếu thức P là $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ đạt được khi x = y = $\frac{1}{\sqrt{3}}$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.