Cho x và y là hai số thực thay đổi thuộc nửa khoảng (0;1] và x+y= 4xy. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x2y + xy2

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 58781:

Cho x và y là hai số thực thay đổi thuộc nửa khoảng (0;1] và x+y= 4xy. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = x²y + xy² - $\frac{1}{6}$ ( $\frac{1}{x^e_2}+\frac{1}{y^e_2}$ )

A. MaxP = - $\frac{17}{12}$ ;MinP = - $\frac{11}{9}$

B. MaxP = - $\frac{13}{12}$ ;MinP = - $\frac{1}{9}$

C. MaxP = - $\frac{1}{12}$ ;MinP = - $\frac{11}{9}$

D. MaxP = - $\frac{13}{12}$ ;MinP = - $\frac{11}{9}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:58781

Giải chi tiết

Ta cos 4xy = x+y ≥ 2 $\sqrt{xy}$ => xy ≥ $\frac{1}{4}$

x; y ∊ (0;1] => (1-x)(1-y) ≥ 0 => 1 - (x+y) + xy ≥ 0 => 1 -4xy +xy ≥ 0=> xy ≤ $\frac{1}{3}$

P = x²y + xy² - $\frac{1}{6}$ ( $\frac{1}{x^e_2}+\frac{1}{y^e_2}$ ) = xy(x+y) - $\frac{1}{6}$ [ $\frac{(x+y)^{2}-2xy}{(xy)^e_2}$ = 4(xy)²+ $\frac{1}{3xy}$ - $\frac{8}{3}$

Đặt t = xy thì P = 4t²+ $\frac{1}{3t}$ - $\frac{8}{3}$ = f(t) với t ∊ [ $\frac{1}{4}$ ; $\frac{1}{3}$ ]

f'(t) = 8t - $\frac{1}{3t^{2}}$ = $\frac{24t^{3}-1}{3t^{2}}$ < 0, với mọi t ∊ [ $\frac{1}{4}$ ; $\frac{1}{3}$ ]

* MaxP = - $\frac{13}{12}$ đạt được khi và chỉ khi x = y = $\frac{1}{2}$

* MinP = - $\frac{11}{9}$ đạt được khi và chỉ khi x = 1; y = $\frac{1}{3}$ hoặc x = $\frac{1}{3}$ ; y=1

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.