Cho tam giác \(ABC\) có \(\angle A = {90^0}\) và \(AB = AC.\) Trên các cạnh \(AB,\,\,AC\) lần lượt lất

Câu hỏi số 588391:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) có \(\angle A = {90^0}\) và \(AB = AC.\) Trên các cạnh \(AB,\,\,AC\) lần lượt lất các điểm \(D,\,\,E\) sao cho \(AD = AE.\) Qua \(A\) và \(D\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(BE\) cắt \(BC\) lần lượt tại \(M\) và \(N.\) Tia \(ND\) cắt tia \(CA\) tại \(I.\) Chứng minh rằng:

a) \(\Delta AID = \Delta ABE\)

b) \(CM = MN\)

Xem lời giải

Câu hỏi:588391

Phương pháp giải

- Nếu một cạnh và hai góc kề cạnh đó của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề cạnh đó của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

- Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có tất cả các cặp cạnh tương ứng bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau.

Giải chi tiết

a) Gọi \(H\) là giao điểm của \(BE\) và \(IN.\)

Ta có : \(\Delta AEB\) vuông tại \(A\, \Rightarrow \angle ABE + \angle AEB = {90^0};\)

\(\Delta DHB\) vuông tại \(H\, \Rightarrow \angle DBH + \angle HDB = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle HDB = \angle AEB\)
Mà \(\angle HDB = \angle ADI\) (hai góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \angle ADI = \angle AEB\)
Xét \(\Delta ADI\) và \(\Delta ABE\) có :

\(\left. \begin{array}{l}\angle DAI = \angle EAB\,\left( { = {{90}^0}} \right)\\AE = AD\,\left( {gt} \right)\\\angle ADI = \angle AEB\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AID = \Delta ABE\left( {g.c.g} \right)\)

b) Ta có \(AM \bot BE,\,\,IN \bot BE\, \Rightarrow AM\,//\,IN.\)

Qua \(N\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(AM\) tại \(F\,\, \Rightarrow AC\,//\,NF\, \Rightarrow AI\,//\,NF\)

Xét \(\Delta AIN\) và \(\Delta NFA\) có :

\(\left. \begin{array}{l}\angle IAN = \angle FNA\,\left( {slt,\,AI\,//\,NF} \right)\\\angle ANI = \angle NAF\,\left( {slt,\,AM\,//\,IN} \right)\\AN\,\,\,chung\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AIN = \Delta NFA\,\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow AI = AB\) (hai cạnh tương ứng)

Lại có \(AB = AC\,\left( {gt} \right)\, \Rightarrow NF = AC\)

Mà \(AC\,//\,NF\, \Rightarrow \angle CAM = \angle MFN,\,\,\angle ACM = \angle MNF\) (hai góc so le trong)

Xét \(\Delta MAC\) và \(\Delta MFN\) có :

\(\left. \begin{array}{l}\angle CAM = \angle MFN\,\left( {cmt} \right)\\\angle ACM = \angle MNF\,\left( {cmt} \right)\\NF = AC\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta MAC = \Delta MFN\,\left( {g.c.g} \right)\)

\( \Rightarrow CM = MM\) (hai cạnh tướng ứng)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.