Cho \(\Delta ABC,\,\angle B < {90^0},\,\angle B = 2\angle C.\) Từ \(A\) kẻ \(AH \bot BC.\) Trên tia đối

Câu hỏi số 588651:

Vận dụng cao

Cho \(\Delta ABC,\,\angle B < {90^0},\,\angle B = 2\angle C.\) Từ \(A\) kẻ \(AH \bot BC.\) Trên tia đối của tia \(BA\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BE = BH.\) Đướng thẳng \(EH\) cắt đường thẳng \(AC\) tại \(D.\)

a) Chứng minh \(DA = DH = DC\)

b) So sánh các góc của hai tam giác \(\Delta ADE,\,\Delta ABC.\)

c) Lấy điểm \(B'\) trên \(BC\) sao cho \(H\) là trung điểm của \(BB'.\) Chứng minh \(\Delta AB'C\) cân.

Xem lời giải

Câu hỏi:588651

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa, tính chất và dấu hiệu nhận biết của tam giác cân để chứng minh.

Giải chi tiết

a) Gọi \(\angle ACB = \alpha \Rightarrow \angle ABC = 2\alpha \) (vì \(\angle B = 2\angle C\))

\(\Delta BHE\) cân tại \(B\,\)(vì \(BE = BH\)) mà \(\angle ABC\) là góc ngoài của \(\Delta BHE\)

\( \Rightarrow \angle BEH = \angle BHE = \dfrac{{\angle ABC}}{2} = \dfrac{{2\alpha }}{2} = \alpha \)

Ta có: \(\angle BHE = \angle DHC\) (hai góc đối đỉnh)

Mà \(\angle BHE = \angle DCH\,\left( { = \alpha } \right)\)

\( \Rightarrow \angle DHC = \angle DCH\,\left( { = \alpha } \right) \Rightarrow \Delta DHC\) cân tại \(D\, \Rightarrow DH = DC\, \left( 1 \right)\)

Vì \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\angle HAC + \angle HCA = {90^0} \Rightarrow \angle HAC = {90^0} - \angle HCA = {90^0} - \alpha \\\angle AHD + \angle DHC = {90^0} \Rightarrow \angle AHD = {90^0} - \angle DHC = {90^0} - \alpha \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \angle HAC = \angle AHD\) hay \(\angle HAD = \angle AHD \Rightarrow \Delta AHD\) cân tại \(D\, \Rightarrow DA = DH \left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right) \Rightarrow DA = DH = DC\)

b) Trong \(\Delta ABC\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle ABC = 2\alpha \\\angle ACB = \alpha \end{array} \right.\)

Xét \(\Delta ADE\) có: \(\angle AED = \alpha \,\left( {cmt} \right)\)

Vì \(\Delta DHC\) cân tại \(D\,\left( {cmt} \right)\) mà \(\angle ADH\) là góc ngoài của \(\Delta DHC\) \( \Rightarrow \angle ADE = \angle DHC + \angle DCH = 2\alpha \)

Vậy xét \(\Delta ADE,\,\Delta ABC\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle BAC = \angle EAD\\\angle AED = \angle ACB\,\left( { = \alpha } \right)\\\angle ABC = \angle ADE\left( { = 2\alpha } \right)\end{array} \right.\)

c) Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta AB'H\) có:

\(\left. \begin{array}{l}BH = B'H\left( {gt} \right)\\\angle AHB = \angle AHB'\left( { = {{90}^0}} \right)\\AH\,\,\,chung\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow \Delta ABH = \Delta AB'H\,\left( {c.g.c} \right)\)\( \Rightarrow AB = AB' \Rightarrow \Delta ABB'\) là tam giác cân

\( \Rightarrow \angle ABB' = \angle AB'B = 2\alpha \)

Ta lại có: \(\angle AB'B\) là góc ngoài của \(\Delta AB'C\)

\( \Rightarrow \angle AB'B = \angle B'AC + \angle ACB' \Rightarrow \angle B'AC = \angle AB'B - \angle ACB' = 2\alpha - \alpha = \alpha \)

\( \Rightarrow \angle B'AC = \angle ACB'\,\left( { = a} \right) \Rightarrow \Delta AB'C\) cân tại \(B'.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.