Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A.\) Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(M,\) trên tia đối của tia \(CA\) lấy

Câu hỏi số 588650:

Vận dụng cao

Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A.\) Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(M,\) trên tia đối của tia \(CA\) lấy điểm \(N\) sao cho \(AM + AN = 2AB.\) Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MN.\) Chứng minh rằng ba điểm \(B,\,I,\,C\) thẳng hàng.

Xem lời giải

Câu hỏi:588650

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa và tính chất của tam giác cân để chứng minh.

Bước 1: Gọi \(I'\) là giao điểm của \(BC,\,MN.\)

Bước 2: Ta cần chứng minh \(I\) trùng \(I'.\)

- Chứng minh \(I'N = I'M\)

Giải chi tiết

Ta có: \(AM + AN = 2AB\,\left( {gt} \right)\)

Mà \(AB = AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

\( \Rightarrow AM + AN = AB + AC \Rightarrow AM + AC + CN = AB + AC \Rightarrow AM + CN = AM\)

Mà \(AM + MB = AB\)

\( \Rightarrow MB = CN\)

Gọi \(I'\) là giao điểm của \(BC,\,MN.\) Ta cần chứng minh \(I\) trùng \(I'.\)

Qua \(M\) kẻ \(MP\,//\,AC\,\left( {P \in BC} \right)\, \Rightarrow \angle ACB = \angle MPB\) (hai góc đồng vị)

Mà \(\angle ACB = \angle ABC\,\)(\(\Delta ABC\) cân tại \(A\)) hay \(\angle ACB = \angle MBP\)

\( \Rightarrow \angle MPB = \angle MBP\)\( \Rightarrow \Delta MPB\) cân tại \(M\, \Rightarrow MB = MP\) mà \(CN = MP\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow CN = MP\)

Xét \(\Delta CNI'\) và \(\Delta PMI'\) có :

\(\left. \begin{array}{l}\angle CNI' = \angle PMI'\,\left( {SLT} \right)\\CN = MP\,\left( {cmt} \right)\\\angle NCI' = MPI'\,\left( {SLT} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta CNI' = \Delta PMI'\,\left( {g.c.g} \right)\)

\( \Rightarrow I'N = I'M \Rightarrow I'\) là trung điểm của đoạn \(MN\)

\( \Rightarrow I \equiv I'\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.