Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình dưới đây Giá trị lớn nhất của hàm số

Câu hỏi số 589639:

Vận dụng cao

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình dưới đây

Giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {4x - {x^2}} \right) + \dfrac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} + 8x + \dfrac{1}{3}\) trên đoạn [1;3] bằng

A. \(7\).

B. \(12\).

C. \(\dfrac{{10}}{3}\).

D. \(\dfrac{4}{3}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:589639

Phương pháp giải

Tính g’(x).

Giải phương trình g’(x) = 0.

Lập BBT hàm số g(x).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = \left( {4 - 2x} \right)f'\left( {4x - {x^2}} \right) + {x^2} - 6x + 8\\g'\left( x \right) = 2\left( {2 - x} \right)f'\left( {4x - {x^2}} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right)\\g'\left( x \right) = \left( {2 - x} \right)\left[ {2f'\left( {4x - {x^2}} \right) + x - 4} \right]\end{array}\)

Giải \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \in \left[ {1;3} \right]\\2f'\left( {4x - {x^2}} \right) + x - 4 = 0\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\).

Đặt \(t = 4x - {x^2} \Rightarrow t' = 4 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 2\).

Ta có \(t\left( 1 \right) = 3,\,\,t\left( 2 \right) = 4,\,\,t\left( 3 \right) = 3\).

\( \Rightarrow \) Với \(x \in \left[ {1;3} \right] \Rightarrow t \in \left[ {3;4} \right]\).

Dựa vào BBT ta thấy \(f'\left( t \right) \le 0\,\,\forall x \in \left[ {3;4} \right]\) \( \Rightarrow f'\left( {4x - {x^2}} \right) \le 0\,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right]\).

Với \(x \in \left[ {1;3} \right] \Rightarrow x < 4 \Rightarrow x - 4 < 0\).

Do đó \(2f'\left( {4x - {x^2}} \right) + x - 4 = 0 < 0\,\,\forall x\) nên phương trình (*) vô nghiệm.

Khi đó ta có BBT hàm số g(x) như sau:

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} g\left( x \right) = f\left( 4 \right) + 7 = 0 + 7 = 7\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.