Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x2 + y2 + (3x − 2)(y −1) = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2 + y2 + x+ y+8

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 58986:

Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x²+ y²+ (3x − 2)(y −1) = 0.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x²+ y²+ x+ y+8 $\sqrt{4-x-y}$

A. MaxP = 6+8√2

B. MaxP = 6-8√2

C. MaxP = 5+8√2

D. MaxP = 5- 8√2

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:58986

Giải chi tiết

Ta có giả thiết x² + y² + (3x -2)(y-1) = 0 <= > (x+y)² – 3(x+y) + 2 = -xy – y

Vì x, y không âm nên –xy – y ≤ 0. Suy ra (x+y)² – 3(x+y) + 2 ≤ 0 <= > 1<x+y ≤2

Đặt t = x+y, khi đó t ∊ [1;2]

Ta có P = x² + y² + x +y + 8 $\sqrt{4-x-y}$ ≤ (x+y)²+ (x+y) + 8 $\sqrt{4-x-y}$ = t² + t + 8 $\sqrt{4-t}$

Xét hàm số f(t) = t² + t + 8 với t ∊ [1;2]

Ta có f’(t) = 2t +1 - $\frac{4}{\sqrt{4-t}}$ , với mọi t ∊ [1;2]

Chú ý rằng f’(t) > 3 - $\frac{4}{\sqrt{2}}$ > 0 với mọi t ∊ (1;2)

Suy ra f(t) đồng biến trên [1;2]. Do đó maxf(t) = f(2) = 6+8√2

Suy ra P ≤ 6+8√2, dấu đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} xy=0\\ t=2 \end{matrix}\right.$ . <= > x=2, y=0

Vậy giá trị lớn nhất của P là 6+8√2, đạt khi x=2, y=0

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.