Tính giá trị của biểu thức \(P = \sqrt {{{\sin }^4}x + 6{{\cos }^2}x + 3{{\cos }^4}x} + \sqrt {{{\cos

Câu hỏi số 590756:

Vận dụng

Tính giá trị của biểu thức \(P = \sqrt {{{\sin }^4}x + 6{{\cos }^2}x + 3{{\cos }^4}x} + \sqrt {{{\cos }^4}x + 6{{\sin }^2}x + 3{{\sin }^4}x} \) với x là góc tùy ý thỏa mãn \({0^0} < x < {180^0}\).

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 6.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:590756

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) biểu diễn P theo \(\cos x\).

Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\).

Chú ý: \( - 1 \le \cos x \le 1\,\,\forall x.\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,{\sin ^4}x + 6{\cos ^2}x + 3{\cos ^4}x\\ = {\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)^2} + 6{\cos ^2}x + 3{\cos ^4}x\\ = 1 - 2{\cos ^2}x + {\cos ^4}x + 6{\cos ^2}x + 3{\cos ^4}x\\ = 4{\cos ^4}x + 4{\cos ^2}x + 1\\ = {\left( {2{{\cos }^2}x + 1} \right)^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,{\cos ^4}x + 6{\sin ^2}x + 3{\sin ^4}x\\ = {\cos ^4}x + 6\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) + 3{\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)^2}\\ = {\cos ^4}x + 6 - 6{\cos ^2}x + 3\left( {1 - 2{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} \right)\\ = {\cos ^4}x + 6 - 6{\cos ^2}x + 3 - 6{\cos ^2}x + 3{\cos ^4}x\\ = 4{\cos ^4}x - 12{\cos ^2}x + 9\\ = {\left( {2{{\cos }^2}x - 3} \right)^2}\end{array}\)

Suy ra:

\(\begin{array}{l}P = \sqrt {{{\sin }^4}x + 6{{\cos }^2}x + 3{{\cos }^4}x} + \sqrt {{{\cos }^4}x + 6{{\sin }^2}x + 3{{\sin }^4}x} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {2{{\cos }^2}x + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {2{{\cos }^2}x - 3} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\, = \left| {2{{\cos }^2}x + 1} \right| + \left| {2{{\cos }^2}x - 3} \right|\end{array}\)

Vì \(2{\cos ^2}x + 1 \ge 1 > 0\) nên \(\left| {2{{\cos }^2}x + 1} \right| = 2{\cos ^2}x + 1\)

\(2{\cos ^2}x - 3 \le 2 - 3 = - 1 < 0\) nên \(\left| {2{{\cos }^2}x - 3} \right| = 3 - 2{\cos ^2}x\).

Vậy \(P = 2{\cos ^2}x + 1 + 3 - 2{\cos ^2}x = 4.\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.