Tính giá trị của biểu thức \(P = \sqrt {{{\sin }^4}x + 6{{\cos }^2}x + 3{{\cos }^4}x} + \sqrt {{{\cos

Câu hỏi số 590756:

Vận dụng

Tính giá trị của biểu thức \(P = \sqrt {{{\sin }^4}x + 6{{\cos }^2}x + 3{{\cos }^4}x} + \sqrt {{{\cos }^4}x + 6{{\sin }^2}x + 3{{\sin }^4}x} \) với x là góc tùy ý thỏa mãn \({0^0} < x < {180^0}\).

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 6.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:590756

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) biểu diễn P theo \(\cos x\).

Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\).

Chú ý: \( - 1 \le \cos x \le 1\,\,\forall x.\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,{\sin ^4}x + 6{\cos ^2}x + 3{\cos ^4}x\\ = {\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)^2} + 6{\cos ^2}x + 3{\cos ^4}x\\ = 1 - 2{\cos ^2}x + {\cos ^4}x + 6{\cos ^2}x + 3{\cos ^4}x\\ = 4{\cos ^4}x + 4{\cos ^2}x + 1\\ = {\left( {2{{\cos }^2}x + 1} \right)^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,{\cos ^4}x + 6{\sin ^2}x + 3{\sin ^4}x\\ = {\cos ^4}x + 6\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) + 3{\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)^2}\\ = {\cos ^4}x + 6 - 6{\cos ^2}x + 3\left( {1 - 2{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} \right)\\ = {\cos ^4}x + 6 - 6{\cos ^2}x + 3 - 6{\cos ^2}x + 3{\cos ^4}x\\ = 4{\cos ^4}x - 12{\cos ^2}x + 9\\ = {\left( {2{{\cos }^2}x - 3} \right)^2}\end{array}\)

Suy ra:

\(\begin{array}{l}P = \sqrt {{{\sin }^4}x + 6{{\cos }^2}x + 3{{\cos }^4}x} + \sqrt {{{\cos }^4}x + 6{{\sin }^2}x + 3{{\sin }^4}x} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {2{{\cos }^2}x + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {2{{\cos }^2}x - 3} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\, = \left| {2{{\cos }^2}x + 1} \right| + \left| {2{{\cos }^2}x - 3} \right|\end{array}\)

Vì \(2{\cos ^2}x + 1 \ge 1 > 0\) nên \(\left| {2{{\cos }^2}x + 1} \right| = 2{\cos ^2}x + 1\)

\(2{\cos ^2}x - 3 \le 2 - 3 = - 1 < 0\) nên \(\left| {2{{\cos }^2}x - 3} \right| = 3 - 2{\cos ^2}x\).

Vậy \(P = 2{\cos ^2}x + 1 + 3 - 2{\cos ^2}x = 4.\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10