Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b. Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi đẳng thức \({a^2} +

Câu hỏi số 590755:

Vận dụng

Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b. Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi đẳng thức \({a^2} + {b^2} = 5{c^2}\). Góc giữa hai trung tuyến AM và BN là:

A. \({60^0}.\)

B. \({30^0}.\)

C. \({90^0}.\)

D. \({45^0}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:590755

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến tính AM, BN theo a, b, c.

Tính AI² và BI² theo a, b, c.

Sử dụng hệ quả định lí cosin trong tam giác ABI: \(\cos \angle AIB = \dfrac{{A{I^2} + B{I^2} - A{B^2}}}{{2AI.BI}}\).

Giải chi tiết

Ta có: \(A{M^2} = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}\), \(B{N^2} = \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4}.\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}AI = \dfrac{2}{3}AM \Rightarrow A{I^2} = \dfrac{4}{9}A{M^2} = \dfrac{4}{9}\left( {\dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} \right)\\BI = \dfrac{2}{3}BN \Rightarrow B{I^2} = \dfrac{4}{9}B{N^2} = \dfrac{4}{9}\left( {\dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4}} \right)\end{array} \right.\).

Áp dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác ABI ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \angle AIB = \dfrac{{A{I^2} + B{I^2} - A{B^2}}}{{2AI.BI}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{4}{9}\left( {\dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} \right) + \dfrac{4}{9}\left( {\dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4}} \right) - {c^2}}}{{2AI.BI}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{4}{9}\left( {\dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4}} \right) - {c^2}}}{{2AI.BI}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{4}{9}.\dfrac{{{a^2} + {b^2} + 4{c^2}}}{4} - {c^2}}}{{2AI.BI}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{{{a^2} + {b^2} + 4{c^2}}}{9} - {c^2}}}{{2AI.BI}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - 5{c^2}}}{{18AI.BI}}\end{array}\)

Mà theo giả thiết ta có \({a^2} + {b^2} = 5{c^2}\) nên \(\cos \angle AIB = 0 \Leftrightarrow \angle AIB = {90^0}\).

Vậy góc giữa hai trung tuyến AM và BN là 90⁰.

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.