Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b. Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi đẳng thức \({a^2} +
Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b. Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi đẳng thức \({a^2} + {b^2} = 5{c^2}\). Góc giữa hai trung tuyến AM và BN là:
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Sử dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến tính AM, BN theo a, b, c.
Tính AI2 và BI2 theo a, b, c.
Sử dụng hệ quả định lí cosin trong tam giác ABI: \(\cos \angle AIB = \dfrac{{A{I^2} + B{I^2} - A{B^2}}}{{2AI.BI}}\).
Ta có: \(A{M^2} = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}\), \(B{N^2} = \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4}.\)
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}AI = \dfrac{2}{3}AM \Rightarrow A{I^2} = \dfrac{4}{9}A{M^2} = \dfrac{4}{9}\left( {\dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} \right)\\BI = \dfrac{2}{3}BN \Rightarrow B{I^2} = \dfrac{4}{9}B{N^2} = \dfrac{4}{9}\left( {\dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4}} \right)\end{array} \right.\).
Áp dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác ABI ta có:
\(\begin{array}{l}\cos \angle AIB = \dfrac{{A{I^2} + B{I^2} - A{B^2}}}{{2AI.BI}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{4}{9}\left( {\dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} \right) + \dfrac{4}{9}\left( {\dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4}} \right) - {c^2}}}{{2AI.BI}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{4}{9}\left( {\dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4}} \right) - {c^2}}}{{2AI.BI}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{4}{9}.\dfrac{{{a^2} + {b^2} + 4{c^2}}}{4} - {c^2}}}{{2AI.BI}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{{{a^2} + {b^2} + 4{c^2}}}{9} - {c^2}}}{{2AI.BI}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - 5{c^2}}}{{18AI.BI}}\end{array}\)
Mà theo giả thiết ta có \({a^2} + {b^2} = 5{c^2}\) nên \(\cos \angle AIB = 0 \Leftrightarrow \angle AIB = {90^0}\).
Vậy góc giữa hai trung tuyến AM và BN là 900.
Đáp án cần chọn là: C
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
