Chứng minh rằng:a) \(\sqrt {1999} \) là số vô tỉ;b) \(6 + \sqrt {1999} \) là số vô tỉ;c) \(\sqrt {1 +

Câu hỏi số 590883:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng:

a) \(\sqrt {1999} \) là số vô tỉ;

b) \(6 + \sqrt {1999} \) là số vô tỉ;

c) \(\sqrt {1 + \sqrt 2 } \) là số vô tỉ.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:590883

Phương pháp giải

Để chứng minh \(a\) là số vô tỉ, ta thực hiện qua các bước sau:

+ Bước 1: Giả sử là \(a\) là số hữu tỉ

+ Bước 2: Lập luận và sử dụng các tính chất đã biết về luỹ thừa, chia hết,… để đi tới mâu thuẫn với dữ kiện đề bài đã cho hoặc đi tới điều vô lí

+ Bước 3: Kết luận

Giải chi tiết

a) Giả sử \(\sqrt {1999} \) là số hữu tỉ

Khi đó: \(\sqrt {1999} = \dfrac{m}{n}\) với \(m,n \in \mathbb{N}*;\dfrac{m}{n}\) là tối giản

\( \Rightarrow 1999 = \dfrac{{{m^2}}}{{{n^2}}}\) hay \({m^2} = 1999{n^2}\)

\( \Rightarrow {m^2} \vdots 1999\)

Mà \(1999\) là số nguyên tố

\(\begin{array}{l} \Rightarrow m \vdots 1999\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ \Rightarrow {m^2} \vdots {1999^2}\\ \Rightarrow 1999.{n^2} \vdots {1999^2}\end{array}\)

Hay \({n^2} \vdots 1999 \Rightarrow n \vdots 1999\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{m}{n}\) không phải là phân số tối giản (mâu thuẫn)

Vậy \(\sqrt {1999} \) là số vô tỉ.

b) Giả sử \(6 + \sqrt {1999} \) là số hữu tỉ

Mà \(6 \in \mathbb{Q}\)

\( \Rightarrow 6 - \left( {6 + \sqrt {1999} } \right) \in \mathbb{Q}\)

\( \Rightarrow \sqrt {1999} \in \mathbb{Q}\) (vô lí)

Vì \(\sqrt {1999} \) là số vô tỉ (theo Giải Câu a)

Vậy \(6 + \sqrt {1999} \) là số vô tỉ (đpcm)

c) Giả sử \(\sqrt {1 + \sqrt 2 } = m \in \mathbb{Q}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {\sqrt {1 + \sqrt 2 } } \right)^2} = {m^2}\\ \Rightarrow 1 + \sqrt 2 = {m^2}\\ \Rightarrow \sqrt 2 = {m^2} - 1\end{array}\)

Vì \(m\) là số hữu tỉ nên \({m^2}\) là số hữu tỉ, do đó \({m^2} - 1\) là số hữu tỉ

\( \Rightarrow \sqrt 2 \) là số hữu tỉ (mâu thuẫn với bài giảng:\(\sqrt 2 \) là số vô tỉ)

Vậy \(\sqrt {1 + \sqrt 2 } \) là số vô tỉ (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.