Cho \(x \in \mathbb{Q},y \in I\). Chứng minh rằng các số sau đây là các số vô tỉ: \(x + y\,\,;\,\,x -

Câu hỏi số 590884:

Vận dụng cao

Cho \(x \in \mathbb{Q},y \in I\). Chứng minh rằng các số sau đây là các số vô tỉ: \(x + y\,\,;\,\,x - y\,\,;\,\,xy\,\,;\,\,\dfrac{x}{y}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:590884

Phương pháp giải

Để chứng minh \(a\) là số vô tỉ, ta thực hiện qua các bước sau:

+ Bước 1: Giả sử là \(a\) là số hữu tỉ

+ Bước 2: Lập luận và sử dụng các tính chất đã biết về luỹ thừa, chia hết,… để đi tới mâu thuẫn với dữ kiện đề bài đã cho hoặc đi tới điều vô lí

+ Bước 3: Kết luận

Giải chi tiết

* Giả sử \(x + y \in \mathbb{Q} \Leftrightarrow x + y = a \in \mathbb{Q} \Leftrightarrow y = a - x\)

Mà \(a,x \in \mathbb{Q}\)

\( \Rightarrow a - x \in \mathbb{Q}\) hay \(y \in \mathbb{Q}\) (mâu thuẫn với giả thiết \(y \in I\))

Vậy \(x + y\) là số vô tỉ (đpcm)

* Giả sử \(x - y \in \mathbb{Q} \Leftrightarrow x - y = b \in \mathbb{Q} \Leftrightarrow y = b + x\)

Mà \(b,x \in \mathbb{Q}\)

\( \Rightarrow b + x \in \mathbb{Q}\) hay \(y \in \mathbb{Q}\) (mâu thuẫn với giả thiết \(y \in I\))

Vậy \(x - y\) là số vô tỉ (đpcm)

* Giả sử \(x.y \in \mathbb{Q} \Leftrightarrow x.y = c \in \mathbb{Q} \Leftrightarrow y = \dfrac{c}{x}\)

Mà \(c,x \in \mathbb{Q}\)

\( \Rightarrow \dfrac{c}{x} \in \mathbb{Q}\) hay \(y \in \mathbb{Q}\) (mâu thuẫn với giả thiết \(y \in I\))

Vậy \(x.y\) là số vô tỉ (đpcm)

* Giả sử \(x + y \in \mathbb{Q} \Leftrightarrow \dfrac{x}{y} = d \in \mathbb{Q} \Leftrightarrow y = \dfrac{x}{d}\)

Mà \(d,x \in \mathbb{Q}\)

\( \Rightarrow \dfrac{x}{d} \in \mathbb{Q}\) hay \(y \in \mathbb{Q}\) (mâu thuẫn với giả thiết \(y \in I\))

Vậy \(\dfrac{x}{y}\) là số vô tỉ (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.