Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh

Câu hỏi số 591065:

Vận dụng cao

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh \(a\overrightarrow {IA} + b\overrightarrow {IB} + c\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:591065

Phương pháp giải

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm hai đường phân giác.

Sử dụng tính chất đường phân giác, tính BE và CF theo a, b, c.

Biểu diễn \(\overrightarrow {AE} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} \).

Sử dụng công thức \(\overrightarrow {AI} = \dfrac{{AB}}{{AB + AF}}\overrightarrow {AF} + \dfrac{{AF}}{{AB + AF}}\overrightarrow {AB} \).

Giải chi tiết

Gọi AE, BF lần lượt là đường phân giác trong góc A và góc B \( \Rightarrow I = AE \cap BF\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{BE}}{{EC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{c}{b}\\ \Rightarrow BE = \dfrac{c}{b}EC = \dfrac{c}{b}\left( {BC - BE} \right)\\ \Leftrightarrow BE = \dfrac{c}{{b + c}}BC = \dfrac{{ac}}{{b + c}}\end{array}\)

Tương tự ta có: \(AF = \dfrac{c}{{a + c}}AC = \dfrac{{bc}}{{a + c}}\).

Suy ra

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} \\ = \overrightarrow {AB} + \dfrac{c}{{b + c}}\overrightarrow {BC} \\ = \overrightarrow {AB} + \dfrac{c}{{b + c}}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\\ = \dfrac{b}{{b + c}}\overrightarrow {AB} + \dfrac{c}{{b + c}}\overrightarrow {AC} \,\,\left( * \right)\end{array}\)

Từ (*) suy ra

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AI} = \dfrac{{AB}}{{AB + AF}}\overrightarrow {AF} + \dfrac{{AF}}{{AB + AF}}\overrightarrow {AB} \\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{c}{{c + \dfrac{{bc}}{{a + c}}}}.\dfrac{c}{{a + c}}\overrightarrow {AC} + \dfrac{{\dfrac{{bc}}{{a + c}}}}{{c + \dfrac{{bc}}{{a + c}}}}\overrightarrow {AB} \\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{c}{{a + b + c}}\overrightarrow {AC} + \dfrac{b}{{a + b + c}}\overrightarrow {AB} \\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{b\overrightarrow {AB} + c\overrightarrow {AC} }}{{a + b + c}}\\ \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\overrightarrow {AI} = b\overrightarrow {AB} + c\overrightarrow {AC} \\ \Leftrightarrow c\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AI} } \right) + b\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AI} } \right) - a\overrightarrow {AI} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow c\overrightarrow {IC} + b\overrightarrow {IB} + a\overrightarrow {IA} = \overrightarrow 0 \,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.