Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh \(a\overrightarrow {IA} + b\overrightarrow {IB} + c\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).
Quảng cáo
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm hai đường phân giác.
Sử dụng tính chất đường phân giác, tính BE và CF theo a, b, c.
Biểu diễn \(\overrightarrow {AE} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} \).
Sử dụng công thức \(\overrightarrow {AI} = \dfrac{{AB}}{{AB + AF}}\overrightarrow {AF} + \dfrac{{AF}}{{AB + AF}}\overrightarrow {AB} \).
Gọi AE, BF lần lượt là đường phân giác trong góc A và góc B \( \Rightarrow I = AE \cap BF\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{BE}}{{EC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{c}{b}\\ \Rightarrow BE = \dfrac{c}{b}EC = \dfrac{c}{b}\left( {BC - BE} \right)\\ \Leftrightarrow BE = \dfrac{c}{{b + c}}BC = \dfrac{{ac}}{{b + c}}\end{array}\)
Tương tự ta có: \(AF = \dfrac{c}{{a + c}}AC = \dfrac{{bc}}{{a + c}}\).
Suy ra
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} \\ = \overrightarrow {AB} + \dfrac{c}{{b + c}}\overrightarrow {BC} \\ = \overrightarrow {AB} + \dfrac{c}{{b + c}}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\\ = \dfrac{b}{{b + c}}\overrightarrow {AB} + \dfrac{c}{{b + c}}\overrightarrow {AC} \,\,\left( * \right)\end{array}\)
Từ (*) suy ra
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AI} = \dfrac{{AB}}{{AB + AF}}\overrightarrow {AF} + \dfrac{{AF}}{{AB + AF}}\overrightarrow {AB} \\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{c}{{c + \dfrac{{bc}}{{a + c}}}}.\dfrac{c}{{a + c}}\overrightarrow {AC} + \dfrac{{\dfrac{{bc}}{{a + c}}}}{{c + \dfrac{{bc}}{{a + c}}}}\overrightarrow {AB} \\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{c}{{a + b + c}}\overrightarrow {AC} + \dfrac{b}{{a + b + c}}\overrightarrow {AB} \\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{b\overrightarrow {AB} + c\overrightarrow {AC} }}{{a + b + c}}\\ \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\overrightarrow {AI} = b\overrightarrow {AB} + c\overrightarrow {AC} \\ \Leftrightarrow c\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AI} } \right) + b\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AI} } \right) - a\overrightarrow {AI} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow c\overrightarrow {IC} + b\overrightarrow {IB} + a\overrightarrow {IA} = \overrightarrow 0 \,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
