Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\,\left( {AB < AC} \right).\) Tia phân giác của góc \(\angle A\) cắt

Câu hỏi số 591830:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\,\left( {AB < AC} \right).\) Tia phân giác của góc \(\angle A\) cắt \(BC\) tại \(D.\) Qua \(D\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(BC\) tại \(D,\) cắt \(AC\) tại \(F.\) Trên \(AB\) lấy điểm \(F\) sao cho \(AE = AF.\) Chứng minh:

a) \(\angle ABC = \angle DEC\);

b) \(DB = DE\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:591830

Phương pháp giải

- Nếu hai cạnh và góc xem giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

- Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có tất cả các cặp cạnh tương ứng bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau.

- Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.

Giải chi tiết

a) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên ta có: \(\angle ABC + \angle ACB = \angle BAC = {90^0}\) (1)

Đường thẳng \(DE\) vuông góc với \(BC\) tại \(D\) nên \(\angle CDE = {90^0}\) suy ra tam giác \(CDE\) vuông tại \(D\)

Suy ra \(\angle DEC + \angle DCE = \angle CDE = {90^0}\) hay \(\angle DEC + \angle ACB = {90^0}\) (2)

Từ (1) và (2), suy ra \(\angle ABC = \angle DEC\) (cùng phụ với \(\angle ACB\))

b) Ta có \(AD\) là tia phân giác của góc \(\angle A\) \( \Rightarrow \angle FAD = \angle EAD\) (tính chất tia phân giác của góc)

Xét \(\Delta FDA\) và \(\Delta EDA\) có:

\(\left. \begin{array}{l}AF = AE\left( {gt} \right)\\\angle FAD = \angle EAD\,\left( {cmt} \right)\\AD\,\,chung\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta FDA = \Delta EDA\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle AFD = \angle AED\) (hai góc tương ứng)

\(\angle DFB\) và \(\angle AFD\) là hai góc kề bù nên \(\angle DFB + \angle AFD = {180^0}\) suy ra \(\angle DFB = {180^0} - \angle AFD\)

\(\angle DEC\) và \(\angle AED\) là hai góc kề bù nên \(\angle DEC + \angle AED = {180^0}\) suy ra \(\angle DEC = {180^0} - \angle AED\)

Mà \(\angle AFD = \angle AED\) (cmt)

\( \Rightarrow \angle DFB = \angle DEC\)

Mà \(\angle ABC = \angle DEC\left( {cm\,\,a} \right)\)

\( \Rightarrow \angle ABC = \angle DFB\left( { = \angle DEC} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta DBF\) là tam giác cân (tính chất tam giác cân)

\( \Rightarrow DB = DE\) (tính chất tam giác cân)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link