Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A.\) Trên tia đối của tia \(BA\) lấy điểm \(D,\) trên tia đối của tia

Câu hỏi số 591834:

Vận dụng cao

Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A.\) Trên tia đối của tia \(BA\) lấy điểm \(D,\) trên tia đối của tia \(CA\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BD = CE.\) Gọi \(I\)là giao điểm của \(BE\) và \(CD.\)

a) Chứng minh \(IB = IC,\,ID = IE\).

b) Chứng minh \(DE\,//\,BC\).

c) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Chứng minh ba điểm \(A,\,M,\,I\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:591834

Phương pháp giải

- Vận dụng các trường hợp bằng nhau của hai tam giác.

- Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có tất cả các cặp cạnh tương ứng bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau.

- Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

- Tổng ba góc trong một tam giác bằng \({180^0}.\)

Giải chi tiết

a) Ta có \(AD = AB + BD,\,\,AE = AC + CE\)

Mà \(AB = AC\) (\(\Delta ABC\) cân), \(BD = CE\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow AD = AE\)

Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta AEB\) có :

\(\left. \begin{array}{l}AB = AC\left( {cmt} \right)\\AD = AE\left( {cmt} \right)\\\angle A\,\,\,chung\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta ADC = \Delta AEB\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle ADC = \angle AEB\) (hai góc tương ứng) và \(\angle ACD = \angle ABE\) (hai góc tương ứng)

Ta lại có \(\angle ABD + \angle DBI = {180^0}\) (do \(\angle ABD\) và \(\angle DBI\) là hai góc kề bù)

\(\angle ACD + \angle ECI = {180^0}\) (do \(\angle ACD\) và \(\angle ECI\) là hai góc kề bù)

Mà \(\angle ABE = \angle ACD\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \angle DBI = \angle ECI\)

Xét \(\Delta DBI\) và \(\Delta ECI\) có :

\(BDI = CEI\left( { = \angle ADC = \angle AEB} \right)\)

\(BD = CE\left( {gt} \right)\)

\(\angle DBI = \angle ECI\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta DBI = \Delta ECI\left( {g.c.g} \right)\)

\( \Rightarrow IB = IC,\,\,ID = IE\) (cặp cạnh tương ứng)

b) Vì tam giác \(ABC\) cân \( \Rightarrow \angle ABC = \angle ACB\)

Mà \(\angle A + \angle ABC + \angle ACB = {180^0}\) (tổng ba góc trong tam giác)

\( \Rightarrow \angle ABC = \angle ACB = \dfrac{{{{180}^0} - \angle A}}{2}\, \left( 1 \right)\)

Ta có \(AD = AE\left( {cmt} \right) \Rightarrow \Delta ADE\) là tam giác cân \( \Rightarrow \angle ADE = \angle AED\)

Mà \(\angle A + \angle ADE + \angle AED = {180^0}\) (tổng ba góc trong tam giác)

\( \Rightarrow \angle ADE = \angle AED = \dfrac{{{{180}^0} - \angle A}}{2} \left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right) \Rightarrow \angle ABC = \angle ADE\), mà hai góc ở vị trí đồng vị \( \Rightarrow \,DE\,//\,BC\)

c) Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta ACI\) có :

\(\left. \begin{array}{l}AB = AC\left( {cmt} \right)\\IB = IC\left( {cmt} \right)\\AI\,\,\,chung\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta ABI = \Delta ACI\left( {c.c.c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle BAI = \angle CAI\) (hai góc tương ứng) \( \Rightarrow AI\) là tia phân giác của \(\angle A \left( 3 \right)\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow MD = ME\)

Xét \(\Delta ADM\) và \(\Delta AEM\) có :

\(\left. \begin{array}{l}AD = AE\left( {cmt} \right)\\MD = ME\left( {cmt} \right)\\AM\,\,\,chung\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta ADM = \Delta AEM\left( {c.c.c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle DAM = \angle EAM\) (hai góc tương ứng) \( \Rightarrow AM\) là tia phân giác của \(\angle A \left( 4 \right)\)

Từ \(\left( 3 \right),\,\left( 4 \right) \Rightarrow A,\,I,\,M\) thẳng hàng.

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link