Hai tam giác: tam giác cân \(ABC\) và tam giác \(ADE\) có chung góc ở đỉnh \(A.\) Biết \(AE + AD = AB +

Câu hỏi số 591924:

Vận dụng cao

Hai tam giác: tam giác cân \(ABC\) và tam giác \(ADE\) có chung góc ở đỉnh \(A.\) Biết \(AE + AD = AB + AC.\) Chứng minh \(BC < DE.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:591924

Phương pháp giải

- Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Giải chi tiết

Vì \(AD + AE = AB + AC = 2AB = 2AC\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow BD = CE\)

Nếu \(E\) thuộc đoạn thẳng \(AC\) thì \(D\) thuộc tia đối của tia \(BA\)

Kẻ \(DH \bot BC;\,EK \bot BC\)

Có \(\Delta ABC\) cân tại \(A\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle ACB = \angle ABC\)

Mà \(\angle HBD = \angle ABC\) (hai góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \angle HBD = \angle ACB\left( { = \angle ABC} \right)\) hay \(\angle HBD = \angle KCE\)

Xét \(\Delta DHB\) và \(\Delta EKC\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle DHB = \angle EKC\left( { = {{90}^0}} \right)\\BD = CE\\\angle HBD = \angle KCE\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta DHB = \Delta EKC\) (cạnh huyền – góc nhọn)

\( \Rightarrow BH \bot CK\) (hai cạnh tương ứng)

Lại có \(BK + CK = BC;\,BK + BH = HK\)

\( \Rightarrow BC = HK \left( 1 \right)\)

Gọi \(M\) là giao điểm của \(BC,\,DE.\)

Do \(DH \bot BC;\,EK \bot BC \Rightarrow MH < DM;\,MK < EM\) (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

\( \Rightarrow MH + MK < DM + EM \Rightarrow HK < DE \left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right) \Rightarrow BC < DE.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link