Cho tam giác \(ABC\) đều, cạnh \(a\). Gọi \(H\) là trung điểm \(BC\), \(I\) là trung điểm \(AH\). a)

Câu hỏi số 591933:

Thông hiểu

Cho tam giác \(ABC\) đều, cạnh \(a\). Gọi \(H\) là trung điểm \(BC\), \(I\) là trung điểm \(AH\).

a) Chứng minh rằng \(2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

b) Tính \(\cos \angle BIA\).

c) Tìm quỹ tích điểm \(M\) thỏa mãn \(M{B^2} + M{C^2} + 2M{A^2} = \dfrac{3}{2}{a^2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:591933

Phương pháp giải

a) Nhóm \(\overrightarrow {IB} \) và \(\overrightarrow {IC} \).

b) Tính IA, IB. Tính \(\cos \angle BIA\)theo hệ quả định lí cosin trong tam giác BIA.

c) Sử dụng: \(\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} \), \(\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} \),\(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} \) thay vào điều điện đề bài cho để tìm MI.

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

\(VT = \left( {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) + 2\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IH} + 2\overrightarrow {IA} = 2\left( {\overrightarrow {IH} + \overrightarrow {IA} } \right) = 2.\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 = VP\) (Đpcm).

b) Tính \(\cos \widehat {BIA}\).

Ta có \(IH = IA = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\); \(IB = IC = \sqrt {B{H^2} + I{H^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{3{a^2}}}{{16}}} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{4}\).

\(\cos \widehat {BIA} = \dfrac{{I{B^2} + I{A^2} - B{A^2}}}{{2IB.IA}} = \dfrac{{\dfrac{{7{a^2}}}{{16}} + \dfrac{{3{a^2}}}{{16}} - {a^2}}}{{2\dfrac{{a\sqrt 7 }}{4}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}} = - \dfrac{3}{{\sqrt {21} }}\).

\(\begin{array}{l}M{B^2} + M{C^2} + 2M{A^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2}\\ = 4M{I^2} + 2I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} = 4M{I^2} + \dfrac{{20{a^2}}}{{16}}\end{array}\)

Suy ra \(MI = \dfrac{a}{2}\). Vậy điểm tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R = \dfrac{a}{2}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10