Cho tam giác \(ABC\) đều, cạnh \(a\). Gọi \(H\) là trung điểm \(BC\), \(I\) là trung điểm \(AH\). a)

Câu hỏi số 591933:

Thông hiểu

Cho tam giác \(ABC\) đều, cạnh \(a\). Gọi \(H\) là trung điểm \(BC\), \(I\) là trung điểm \(AH\).

a) Chứng minh rằng \(2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

b) Tính \(\cos \angle BIA\).

c) Tìm quỹ tích điểm \(M\) thỏa mãn \(M{B^2} + M{C^2} + 2M{A^2} = \dfrac{3}{2}{a^2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:591933

Phương pháp giải

a) Nhóm \(\overrightarrow {IB} \) và \(\overrightarrow {IC} \).

b) Tính IA, IB. Tính \(\cos \angle BIA\)theo hệ quả định lí cosin trong tam giác BIA.

c) Sử dụng: \(\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} \), \(\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} \),\(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} \) thay vào điều điện đề bài cho để tìm MI.

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

\(VT = \left( {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) + 2\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IH} + 2\overrightarrow {IA} = 2\left( {\overrightarrow {IH} + \overrightarrow {IA} } \right) = 2.\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 = VP\) (Đpcm).

b) Tính \(\cos \widehat {BIA}\).

Ta có \(IH = IA = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\); \(IB = IC = \sqrt {B{H^2} + I{H^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{3{a^2}}}{{16}}} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{4}\).

\(\cos \widehat {BIA} = \dfrac{{I{B^2} + I{A^2} - B{A^2}}}{{2IB.IA}} = \dfrac{{\dfrac{{7{a^2}}}{{16}} + \dfrac{{3{a^2}}}{{16}} - {a^2}}}{{2\dfrac{{a\sqrt 7 }}{4}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}} = - \dfrac{3}{{\sqrt {21} }}\).

\(\begin{array}{l}M{B^2} + M{C^2} + 2M{A^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2}\\ = 4M{I^2} + 2I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} = 4M{I^2} + \dfrac{{20{a^2}}}{{16}}\end{array}\)

Suy ra \(MI = \dfrac{a}{2}\). Vậy điểm tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R = \dfrac{a}{2}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.