Cho hàm số: \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) với a, b, c là các hệ số, \(\left( {a > 0} \right)\). Biết

Câu hỏi số 592029:

Vận dụng cao

Cho hàm số: \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) với a, b, c là các hệ số, \(\left( {a > 0} \right)\). Biết rằng \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\), hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{6{a^2}}}{{5{a^2} + 2ab + {b^2}}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:592029

Phương pháp giải

Từ \(a > 0\) và \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\) xác định bất đẳng thức của \(\dfrac{b}{a}\).

Chia cả tử và mẫu của P cho \({a^2}\) đưa về ẩn \(\dfrac{b}{a}\) và tìm GTLN.

Giải chi tiết

Do \(a > 0\) nên \(f(x)\) đồng biến trên \(\left( { - \dfrac{b}{{2a}};\,\, + \infty } \right)\).

Từ đây ta có: \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { - 2; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow \) \(\dfrac{{ - b}}{{2a}} \le - 2 \Leftrightarrow \dfrac{b}{a} \ge 4\).

Ta có \(P = \dfrac{{6{a^2}}}{{5{a^2} + 2ab + {b^2}}} = \dfrac{6}{{{{\left( {\dfrac{b}{a}} \right)}^2} + 2\left( {\dfrac{b}{a}} \right) + 5}} = \dfrac{6}{{{t^2} + 2t + 5}}\), với \(t = \dfrac{b}{a} \ge 4\).

Có \({t^2} + 2t + 5 = {\left( {t + 1} \right)^2} + 4 \ge 29\), \(\forall t \ge 4\). Dấu bằng xảy ra khi \(t = 4\).

Do đó \(maxP = \dfrac{6}{{29}}\), đạt được khi \(\dfrac{b}{a} = 4\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10