Cho hàm số: \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) với a, b, c là các hệ số, \(\left( {a > 0} \right)\). Biết

Câu hỏi số 592029:

Vận dụng cao

Cho hàm số: \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) với a, b, c là các hệ số, \(\left( {a > 0} \right)\). Biết rằng \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\), hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{6{a^2}}}{{5{a^2} + 2ab + {b^2}}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:592029

Phương pháp giải

Từ \(a > 0\) và \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\) xác định bất đẳng thức của \(\dfrac{b}{a}\).

Chia cả tử và mẫu của P cho \({a^2}\) đưa về ẩn \(\dfrac{b}{a}\) và tìm GTLN.

Giải chi tiết

Do \(a > 0\) nên \(f(x)\) đồng biến trên \(\left( { - \dfrac{b}{{2a}};\,\, + \infty } \right)\).

Từ đây ta có: \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { - 2; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow \) \(\dfrac{{ - b}}{{2a}} \le - 2 \Leftrightarrow \dfrac{b}{a} \ge 4\).

Ta có \(P = \dfrac{{6{a^2}}}{{5{a^2} + 2ab + {b^2}}} = \dfrac{6}{{{{\left( {\dfrac{b}{a}} \right)}^2} + 2\left( {\dfrac{b}{a}} \right) + 5}} = \dfrac{6}{{{t^2} + 2t + 5}}\), với \(t = \dfrac{b}{a} \ge 4\).

Có \({t^2} + 2t + 5 = {\left( {t + 1} \right)^2} + 4 \ge 29\), \(\forall t \ge 4\). Dấu bằng xảy ra khi \(t = 4\).

Do đó \(maxP = \dfrac{6}{{29}}\), đạt được khi \(\dfrac{b}{a} = 4\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.