Cho hình bình hành \(ABCD\) và hai điểm \(E,\,F\) được xác định bởi các hệ thức sau:

Câu hỏi số 592028:

Thông hiểu

Cho hình bình hành \(ABCD\) và hai điểm \(E,\,F\) được xác định bởi các hệ thức sau: \(\;2\overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EB} = \overrightarrow 0 \,\), \(\,3\,\overrightarrow {DF} + \overrightarrow {BD} \,\, = \overrightarrow 0 .\)

a) Chứng minh \(A,E,F\) thẳng hàng.

b) \(M\)là điểm thỏa mãn \(2\;\overrightarrow {AM} = 3\;\overrightarrow {AF} \). Chứng minh \(M\) là trung điểm \(CD\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:592028

Phương pháp giải

a) Từ hệ thức đề bài cho, xác định vị trí điểm E, F.

Tách biểu thức \(\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BF} \) rồi biến đổi đưa về dạng \(\overrightarrow {AE} = k\overrightarrow {AF} \). Từ đó suy ra A, E, F thẳng hàng.

b) Chứng minh M là trung điểm AE.

Chứng minh ACED là hình hình hành.

Suy ra M là trung điểm CD.

Giải chi tiết

a) Ta có

\(\;2\overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EB} = \overrightarrow 0 \,\,\, \Leftrightarrow 2\overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {CE} = - \overrightarrow {CB} \), suy ra \(C\) là trung điểm \(EB\).

\(3\,\overrightarrow {DF} + \overrightarrow {BD} \,\, = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {DF} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {DB} \Rightarrow F \in BC\) sao cho \(DF = \dfrac{1}{3}DB\).

\(\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BF} = \overrightarrow {AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} + \dfrac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AD} \).

Mặt khác \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AF} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AE} = 3\overrightarrow {AF} \)

Vậy \(A,E,F\) thẳng hàng.

b) \(2\;\overrightarrow {AM} = 3\;\overrightarrow {AF} \Rightarrow 2\;\overrightarrow {AM} = \;\overrightarrow {AE} \Rightarrow \)\(M\) là trung điểm \(AE\).

Mặt khác \(ACED\) là hình bình hành (vì \(AD||CE,\;AD = CE\)) nên \(M\) cũng là trung điểm của \(CD\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.