Cho hình bình hành \(ABCD\) và hai điểm \(E,\,F\) được xác định bởi các hệ thức sau:
Cho hình bình hành \(ABCD\) và hai điểm \(E,\,F\) được xác định bởi các hệ thức sau: \(\;2\overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EB} = \overrightarrow 0 \,\), \(\,3\,\overrightarrow {DF} + \overrightarrow {BD} \,\, = \overrightarrow 0 .\)
a) Chứng minh \(A,E,F\) thẳng hàng.
b) \(M\)là điểm thỏa mãn \(2\;\overrightarrow {AM} = 3\;\overrightarrow {AF} \). Chứng minh \(M\) là trung điểm \(CD\).
Quảng cáo
a) Từ hệ thức đề bài cho, xác định vị trí điểm E, F.
Tách biểu thức \(\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BF} \) rồi biến đổi đưa về dạng \(\overrightarrow {AE} = k\overrightarrow {AF} \). Từ đó suy ra A, E, F thẳng hàng.
b) Chứng minh M là trung điểm AE.
Chứng minh ACED là hình hình hành.
Suy ra M là trung điểm CD.
a) Ta có
\(\;2\overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EB} = \overrightarrow 0 \,\,\, \Leftrightarrow 2\overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {CE} = - \overrightarrow {CB} \), suy ra \(C\) là trung điểm \(EB\).
\(3\,\overrightarrow {DF} + \overrightarrow {BD} \,\, = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {DF} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {DB} \Rightarrow F \in BC\) sao cho \(DF = \dfrac{1}{3}DB\).
\(\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BF} = \overrightarrow {AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} + \dfrac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AD} \).
Mặt khác \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AF} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AE} = 3\overrightarrow {AF} \)
Vậy \(A,E,F\) thẳng hàng.
b) \(2\;\overrightarrow {AM} = 3\;\overrightarrow {AF} \Rightarrow 2\;\overrightarrow {AM} = \;\overrightarrow {AE} \Rightarrow \)\(M\) là trung điểm \(AE\).
Mặt khác \(ACED\) là hình bình hành (vì \(AD||CE,\;AD = CE\)) nên \(M\) cũng là trung điểm của \(CD\).
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
