Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c. Chứng minh rằng \(\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2abc}} =

Câu hỏi số 592109:

Vận dụng cao

Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c. Chứng minh rằng \(\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2abc}} = \dfrac{{\cos A}}{a} + \dfrac{{\cos B}}{b} + \dfrac{{\cos C}}{c}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:592109

Phương pháp giải

Sử dụng \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \), bình phương hai vế, sử dụng khái niệm tích vô hướng của 2 vectơ.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow {\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {BC} ^2} + {\overrightarrow {CA} ^2} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} + 2\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CA} + 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} \\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 2ac\cos B + 2bc\cos A + 2ab\cos C\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2abc}} = \dfrac{{\cos A}}{a} + \dfrac{{\cos B}}{b} + \dfrac{{\cos C}}{c}\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

Mặt khác, theo định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\\ \Leftrightarrow {a^2} = 5{a^2} - 2bc\cos A\\ \Leftrightarrow 2bc\cos A = 4{a^2}\\ \Leftrightarrow bc = \dfrac{{2{a^2}}}{{\cos A}} = \dfrac{{2{a^2}}}{{\cos \alpha }}\end{array}\)

Vậy \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}\dfrac{{2{a^2}}}{{2\cos \alpha }}\sin \alpha = {a^2}\tan \alpha .\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10