Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c. Chứng minh rằng \(\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2abc}} =

Câu hỏi số 592109:

Vận dụng cao

Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c. Chứng minh rằng \(\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2abc}} = \dfrac{{\cos A}}{a} + \dfrac{{\cos B}}{b} + \dfrac{{\cos C}}{c}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:592109

Phương pháp giải

Sử dụng \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \), bình phương hai vế, sử dụng khái niệm tích vô hướng của 2 vectơ.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow {\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {BC} ^2} + {\overrightarrow {CA} ^2} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} + 2\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CA} + 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} \\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 2ac\cos B + 2bc\cos A + 2ab\cos C\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2abc}} = \dfrac{{\cos A}}{a} + \dfrac{{\cos B}}{b} + \dfrac{{\cos C}}{c}\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

Mặt khác, theo định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\\ \Leftrightarrow {a^2} = 5{a^2} - 2bc\cos A\\ \Leftrightarrow 2bc\cos A = 4{a^2}\\ \Leftrightarrow bc = \dfrac{{2{a^2}}}{{\cos A}} = \dfrac{{2{a^2}}}{{\cos \alpha }}\end{array}\)

Vậy \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}\dfrac{{2{a^2}}}{{2\cos \alpha }}\sin \alpha = {a^2}\tan \alpha .\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.