Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm thỏa mãn \(3\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow

Câu hỏi số 592127:

Vận dụng

Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm thỏa mãn \(3\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) và G là trọng tâm của tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MG} = \dfrac{1}{{12}}\overrightarrow {AC} - \dfrac{5}{{12}}\overrightarrow {AB} \).

b) Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng AC và MG. Tính tỉ số \(\dfrac{{KA}}{{KC}}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:592127

Phương pháp giải

a) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh M là trung điểm của BI.

Sử dụng quy tắc ba điểm, công thức trung điểm.

b) Sử dụng điều kiện để hai vectơ cùng phương.

Giải chi tiết

a) Gọi I là trung điểm của BC.

Ta có: \(3\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Rightarrow 3MB = MC \Rightarrow MB = \dfrac{1}{4}BC = \dfrac{1}{2}BI\).

=> M là trung điểm của BI.

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MG} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IG} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {BC} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AI} \\ = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) - \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\\ = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC} - \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB} - \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AB} - \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AC} \\ = \dfrac{1}{{12}}\overrightarrow {AC} - \dfrac{5}{{12}}\overrightarrow {AB} \,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

b) Đặt \(\overrightarrow {AK} = x\overrightarrow {AC} \,\,\left( {x > 0} \right)\), ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {GK} = \overrightarrow {AK} - \overrightarrow {AG} = x\overrightarrow {AC} - \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AI} \\ = x\overrightarrow {AC} - \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \left( {x - \dfrac{1}{3}} \right)\overrightarrow {AC} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} \end{array}\)

Vì M, G, K thẳng hàng nên \(\dfrac{{x - \dfrac{1}{3}}}{{\dfrac{1}{{12}}}} = \dfrac{{ - \dfrac{1}{3}}}{{ - \dfrac{5}{{12}}}} \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{5}.\)

Vậy \(\overrightarrow {AK} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow {AC} \) nên \(AK = \dfrac{2}{5}AC \Rightarrow \dfrac{{KA}}{{KC}} = \dfrac{2}{3}.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.