Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm thỏa mãn \(3\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow

Câu hỏi số 592127:

Vận dụng

Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm thỏa mãn \(3\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) và G là trọng tâm của tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MG} = \dfrac{1}{{12}}\overrightarrow {AC} - \dfrac{5}{{12}}\overrightarrow {AB} \).

b) Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng AC và MG. Tính tỉ số \(\dfrac{{KA}}{{KC}}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:592127

Phương pháp giải

a) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh M là trung điểm của BI.

Sử dụng quy tắc ba điểm, công thức trung điểm.

b) Sử dụng điều kiện để hai vectơ cùng phương.

Giải chi tiết

a) Gọi I là trung điểm của BC.

Ta có: \(3\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Rightarrow 3MB = MC \Rightarrow MB = \dfrac{1}{4}BC = \dfrac{1}{2}BI\).

=> M là trung điểm của BI.

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MG} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IG} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {BC} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AI} \\ = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) - \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\\ = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC} - \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB} - \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AB} - \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AC} \\ = \dfrac{1}{{12}}\overrightarrow {AC} - \dfrac{5}{{12}}\overrightarrow {AB} \,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

b) Đặt \(\overrightarrow {AK} = x\overrightarrow {AC} \,\,\left( {x > 0} \right)\), ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {GK} = \overrightarrow {AK} - \overrightarrow {AG} = x\overrightarrow {AC} - \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AI} \\ = x\overrightarrow {AC} - \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \left( {x - \dfrac{1}{3}} \right)\overrightarrow {AC} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} \end{array}\)

Vì M, G, K thẳng hàng nên \(\dfrac{{x - \dfrac{1}{3}}}{{\dfrac{1}{{12}}}} = \dfrac{{ - \dfrac{1}{3}}}{{ - \dfrac{5}{{12}}}} \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{5}.\)

Vậy \(\overrightarrow {AK} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow {AC} \) nên \(AK = \dfrac{2}{5}AC \Rightarrow \dfrac{{KA}}{{KC}} = \dfrac{2}{3}.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.