Cho tam giác ABC có BC = 3 thỏa mãn \(4\sin A\tan A = \sin B\sin C\). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Câu hỏi số 592128:

Vận dụng cao

Cho tam giác ABC có BC = 3 thỏa mãn \(4\sin A\tan A = \sin B\sin C\). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức \(S = G{B^2} + G{C^2} + 9G{A^2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:592128

Phương pháp giải

Ta thường dùng các chữ cái in hoa để kí hiệu tập hợp và chữ cái in thường để kí hiệu phần tử thuộc tập hợp.

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}S = G{B^2} + G{C^2} + 9G{A^2}\\\,\,\,\, = {\left( {\dfrac{2}{3}{m_b}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{2}{3}{m_c}} \right)^2} + 9.{\left( {\dfrac{2}{3}{m_a}} \right)^2}\\\,\,\,\, = \dfrac{4}{9}{m_b}^2 + \dfrac{4}{9}{m_c}^2 + 4{m_a}^2\\\,\,\,\, = \dfrac{4}{9}.\left( {\dfrac{{2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}}}{4} + \dfrac{{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}}{4}} \right) + 4.\dfrac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4}\\\,\,\,\, = \dfrac{4}{9}.\dfrac{{4{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4} + 2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}\\\,\,\,\, = \dfrac{{4{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{9} + 2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}\\\,\,\,\, = \dfrac{{19}}{9}\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - \dfrac{5}{9}{a^2}\end{array}\)

Theo giả thiết ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,4\sin A\tan A = \sin B\sin C\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^2}A = \sin B\sin C\cos A\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có:

\(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin A = \dfrac{a}{{2R}}\\\sin B = \dfrac{b}{{2R}}\\\sin C = \dfrac{c}{{2R}}\end{array} \right.\)

Thay vào (*) ta có:

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow 4{\left( {\dfrac{a}{{2R}}} \right)^2} = \dfrac{b}{{2R}}.\dfrac{c}{{2R}}\cos A\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 4.\dfrac{{{a^2}}}{{4{R^2}}} = \dfrac{{bc}}{{4{R^2}}}\cos A\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 4{a^2} = bc\cos A\end{array}\)

Lại theo định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\\ \Rightarrow bc\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow 4{a^2} = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow 8{a^2} = {b^2} + {c^2} - {a^2}\\ \Leftrightarrow 9{a^2} = {b^2} + {c^2}\end{array}\)

Do đó: \(S = \dfrac{{19}}{9}\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - \dfrac{5}{9}{a^2} = \dfrac{{19}}{9}.9{a^2} - \dfrac{5}{9}{a^2} = \dfrac{{166{a^2}}}{9} = 166.\)

Vậy S = 166.

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.