Cho tam giác ABC có BC = a, \(\angle A = \alpha \) và hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau.
Cho tam giác ABC có BC = a, \(\angle A = \alpha \) và hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Tính diện tích tam giác ABC theo a và \(\alpha .\)
Quảng cáo
Sử dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến, tính \(B{G^2},\,\,C{G^2}\).
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông BCG chứng minh \({b^2} + {c^2} = 5{a^2}.\)
Sử dụng định lí cosin trong tam giác tính bc theo a và \(\alpha .\)
Sử dụng công thức tính diện tích tam giác \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}bc\sin A.\)
Đặt \(BC = a,\,\,AC = b,\,\,AB = c\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}B{M^2} = \dfrac{{2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}}}{4} \Rightarrow B{G^2} = \dfrac{4}{9}.\dfrac{{2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}}}{4}\\C{N^2} = \dfrac{{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}}{4} \Rightarrow C{G^2} = \dfrac{4}{9}.\dfrac{{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}}{4}\end{array}\)
Vì tam giác BCG vuông tại G nên:
\(\begin{array}{l}B{G^2} + C{G^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{4}{9}.\dfrac{{2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}}}{4} + \dfrac{4}{9}.\dfrac{{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}}{4} = {a^2}\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{c^2} - {b^2} + 2{a^2} + 2{b^2} - {c^2} = 9{a^2}\\ \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 5{a^2}.\end{array}\)
Mặt khác, theo định lí cosin trong tam giác ABC ta có:
\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\\ \Leftrightarrow {a^2} = 5{a^2} - 2bc\cos A\\ \Leftrightarrow 2bc\cos A = 4{a^2}\\ \Leftrightarrow bc = \dfrac{{2{a^2}}}{{\cos A}} = \dfrac{{2{a^2}}}{{\cos \alpha }}\end{array}\)
Vậy \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}\dfrac{{2{a^2}}}{{2\cos \alpha }}\sin \alpha = {a^2}\tan \alpha .\)
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
