Cho tam giác ABC có BC = a, \(\angle A = \alpha \) và hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau.

Câu hỏi số 592153:

Vận dụng cao

Cho tam giác ABC có BC = a, \(\angle A = \alpha \) và hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Tính diện tích tam giác ABC theo a và \(\alpha .\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:592153

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến, tính \(B{G^2},\,\,C{G^2}\).

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông BCG chứng minh \({b^2} + {c^2} = 5{a^2}.\)

Sử dụng định lí cosin trong tam giác tính bc theo a và \(\alpha .\)

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}bc\sin A.\)

Giải chi tiết

Đặt \(BC = a,\,\,AC = b,\,\,AB = c\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}B{M^2} = \dfrac{{2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}}}{4} \Rightarrow B{G^2} = \dfrac{4}{9}.\dfrac{{2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}}}{4}\\C{N^2} = \dfrac{{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}}{4} \Rightarrow C{G^2} = \dfrac{4}{9}.\dfrac{{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}}{4}\end{array}\)

Vì tam giác BCG vuông tại G nên:

\(\begin{array}{l}B{G^2} + C{G^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{4}{9}.\dfrac{{2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}}}{4} + \dfrac{4}{9}.\dfrac{{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}}{4} = {a^2}\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{c^2} - {b^2} + 2{a^2} + 2{b^2} - {c^2} = 9{a^2}\\ \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 5{a^2}.\end{array}\)

Mặt khác, theo định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\\ \Leftrightarrow {a^2} = 5{a^2} - 2bc\cos A\\ \Leftrightarrow 2bc\cos A = 4{a^2}\\ \Leftrightarrow bc = \dfrac{{2{a^2}}}{{\cos A}} = \dfrac{{2{a^2}}}{{\cos \alpha }}\end{array}\)

Vậy \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}\dfrac{{2{a^2}}}{{2\cos \alpha }}\sin \alpha = {a^2}\tan \alpha .\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.