Cho \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\). Chứng minh rằng:a) \({\left( {\dfrac{{a - b}}{{c - d}}} \right)^{2013}} =

Câu hỏi số 592706:

Vận dụng

Cho \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\). Chứng minh rằng:

a) \({\left( {\dfrac{{a - b}}{{c - d}}} \right)^{2013}} = \dfrac{{{a^{2013}} + {b^{2013}}}}{{{c^{2013}} + {d^{2013}}}}\)

b) \(\dfrac{{ac}}{{bd}} = \dfrac{{2025{a^2} + 2030{c^2}}}{{2025{b^2} + 2030{d^2}}}\)

c) \(\dfrac{{2{a^2} - 3ab + 5{b^2}}}{{2{b^2} + 3ab}} = \dfrac{{2{c^2} - 3cd + 5{d^2}}}{{2{d^2} + 3cd}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:592706

Phương pháp giải

+ Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \dfrac{{a - c - e}}{{b - d - f}}\)

+ Đặt \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = kb\\c = kd\end{array} \right.\), sau đó thay vào biểu thức.

+ Ta sử dụng phương pháp chứng minh bắc cầu

Giải chi tiết

a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a - c}}{{b - d}} \Rightarrow {\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^{2013}} = {\left( {\dfrac{c}{d}} \right)^{2013}} = {\left( {\dfrac{{a - c}}{{b - d}}} \right)^{2013}}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Mà \({\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^{2013}} = \dfrac{{{a^{2013}}}}{{{b^{2013}}}};{\left( {\dfrac{c}{d}} \right)^{2013}} = \dfrac{{{c^{2013}}}}{{{d^{2013}}}}\)

\( \Rightarrow {\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^{2013}} = {\left( {\dfrac{c}{d}} \right)^{2013}} = \dfrac{{{a^{2013}}}}{{{b^{2013}}}} = \dfrac{{{c^{2013}}}}{{{d^{2013}}}} = \dfrac{{{a^{2013}} + {c^{2013}}}}{{{b^{2013}} + {d^{2013}}}}\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\)\( \Rightarrow {\left( {\dfrac{{a - c}}{{b - d}}} \right)^{2013}} = \dfrac{{{a^{2013}} + {c^{2013}}}}{{{b^{2013}} + {d^{2013}}}}\) (đpcm)

b) Ta có: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow {\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{c}{d}} \right)^2} \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} = \dfrac{{{c^2}}}{{{d^2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Mặt khác, \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{b}.\dfrac{c}{d} = \dfrac{c}{d}.\dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{{ac}}{{bd}} = {\left( {\dfrac{c}{d}} \right)^2} = \dfrac{{{c^2}}}{{{d^2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} = \dfrac{{{c^2}}}{{{d^2}}} = \dfrac{{2025{a^2}}}{{2025{b^2}}} = \dfrac{{2030{c^2}}}{{2030{d^2}}} = \dfrac{{2025{a^2} + 2030{c^2}}}{{2025{b^2} + 2030{d^2}}}\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) suy ra \(\dfrac{{{c^2}}}{{{d^2}}} = \dfrac{{ac}}{{bd}} = \dfrac{{2025{a^2} + 2030{c^2}}}{{2025{b^2} + 2030{d^2}}}\)

Vậy \(\dfrac{{ac}}{{bd}} = \dfrac{{2025{a^2} + 2030{c^2}}}{{2025{b^2} + 2030{d^2}}}\) (đpcm)

c) Đặt \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = kb\\c = kd\end{array} \right.\). Thay vào các biểu thức ta có:

+ \(\dfrac{{2{a^2} - 3ab + 5{b^2}}}{{2{b^2} + 3ab}} = \dfrac{{2{{\left( {kb} \right)}^2} - 3.kb.b + 5{b^2}}}{{2{b^2} + 3.kb.b}}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{2{k^2}{b^2} - 3k{b^2} + 5{b^2}}}{{2{b^2} + 3k{b^2}}}\\ = \dfrac{{{b^2}\left( {2{k^2} - 3k + 5} \right)}}{{{b^2}\left( {2 + 3k} \right)}}\\ = \dfrac{{2{k^2} - 3k + 5}}{{2 + 3k}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

+ \(\dfrac{{2{c^2} - 3cd + 5{d^2}}}{{2{d^2} + 3cd}} = \dfrac{{2{{\left( {kd} \right)}^2} - 3.kd.d + 5{d^2}}}{{2{d^2} + 3.kd.d}}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{2{k^2}{d^2} - 3k{d^2} + 5{d^2}}}{{2{d^2} + 3k{d^2}}}\\ = \dfrac{{{d^2}\left( {2{k^2} - 3k + 5} \right)}}{{{d^2}\left( {2 + 3k} \right)}}\\ = \dfrac{{2{k^2} - 3k + 5}}{{2 + 3k}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \dfrac{{2{k^2} - 3k + 5}}{{2 + 3k}} = \dfrac{{2{a^2} - 3ab + 5{b^2}}}{{2{b^2} + 3cb}} = \dfrac{{2{c^2} - 3cd + 5{d^2}}}{{2{d^2} + 3cd}}\)

Vậy \(\dfrac{{2{a^2} - 3ab + 5{b^2}}}{{2{b^2} + 3ab}} = \dfrac{{2{c^2} - 3cd + 5{d^2}}}{{2{d^2} + 3cd}}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link