a) Tìm số nguyên \(x,y\) biết: \(\left( {x - 3} \right)\left( {y + 1} \right) = 15\). b) Cho \(M = 1 + 3 +

Câu hỏi số 593348:

Vận dụng cao

a) Tìm số nguyên \(x,y\) biết: \(\left( {x - 3} \right)\left( {y + 1} \right) = 15\).

b) Cho \(M = 1 + 3 + {3^2} + {3^3} + {3^4} + ... + {3^{99}} + {3^{100}}\). Tìm số dư khi chia M cho 13, chia M cho 40.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:593348

Phương pháp giải

a) Vì \(x,y\) là các số nguyên nên \(x - 3;y + 1\) là các số nguyên hay là ước nguyên của 15.

b) Phân tích M thành tích của 13 nhân với một số, phần lẻ ra là số dư. Tương tự với phép chia cho 40.

Giải chi tiết

a) Vì \(x,y\) là các số nguyên nên \(x - 3;y + 1\) là các số nguyên hay là ước nguyên của 15.

Mà Ư(15) = \(\left\{ { \pm 1; \pm 3; \pm 5; \pm 15} \right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy các cặp số \(x,y\) tương ứng là:

4 và 14; 6 và 4; 2 và \( - 16\); 0 và \( - 6\); 18 và 0; 8 và 2; \( - 12\) và \( - 2\); \( - 2\) và \( - 4\).

b) \(M = 1 + 3 + {3^2} + {3^3} + {3^4} + ... + {3^{99}} + {3^{100}}\)

\(M = 1 + 3 + \left( {{3^2} + {3^3} + {3^4}} \right) + \left( {{3^5} + {3^6} + {3^7}} \right) + ...\left( {{3^{98}} + {3^{99}} + {3^{100}}} \right)\)

\(M = 4 + {3^2}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + {3^5}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + {...3^{98}}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right)\)

\(M = 4 + {3^2}.13 + {3^5}.13 + {...3^{98}}.13\)

\(M = 4 + 13.\left( {{3^2} + {3^5} + ... + {3^{98}}} \right)\)

Mà \(13.\left( {{3^2} + {3^5} + ... + {3^{98}}} \right) \vdots 13\)

Nên \(M \vdots 13\) dư 4.

b) \(M = 1 + 3 + {3^2} + {3^3} + {3^4} + ... + {3^{99}} + {3^{100}}\)

\(M = 1 + \left( {3 + {3^2} + {3^3} + {3^4}} \right) + \left( {{3^5} + {3^6} + {3^7} + {3^8}} \right) + ... + \left( {{3^{97}} + {3^{98}} + {3^{99}} + {3^{100}}} \right)\)

\(M = 1 + 3\left( {1 + 3 + {3^2} + {3^3}} \right) + {3^5}\left( {1 + 3 + {3^2} + {3^3}} \right) + ... + {3^{97}}\left( {1 + 3 + {3^2} + {3^3}} \right)\)

\(M = 1 + 3.40 + {3^5}.40 + ... + {3^{97}}.40\)

\(M = 1 + 40.\left( {3 + {3^5} + ... + {3^{97}}} \right)\)

Mà \(40.\left( {3 + {3^5} + ... + {3^{97}}} \right) \vdots 40\)

Nên \(M \vdots 40\) dư 1.

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link