Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A,\) trên hai cạnh \(AB\) và \(AC\) lấy hai điểm \(M\) và \(N\) sao cho \(AM
Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A,\) trên hai cạnh \(AB\) và \(AC\) lấy hai điểm \(M\) và \(N\) sao cho \(AM = AN.\) Chứng minh rằng: \(BN > \dfrac{{BC + MN}}{2}\).
Quảng cáo
- Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Kẻ \(MH \bot BC\) tại \(H;\,\,NK \bot BC\) tại \(K\)
\( \Rightarrow BN > BK;\,\,CM > CH\) (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)
\( \Rightarrow BN + CM > BK + CH\)
Mà \(BK = BH + HK\) (do \(H \in BK\))
\( \Rightarrow BN + CM > BH + HK + CH\) hay \(BN + CM > BC + HK\) (vì \(BC = BH + CH\)) \(\left( 1 \right)\)
Xét \(\Delta ABN\) và \(\Delta ACM\) có:
\(AB = AC\) (vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\))
\(\angle A\,\,\,chung\)
\(AN = AM\,\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta ABN = \Delta ACM\,\left( {c.g.c} \right)\)
\( \Rightarrow BN = CM\) (hai cạnh tương ứng) \(\left( 2 \right)\)
Xét \(\Delta AMN\) có \(AN = AM \Rightarrow \Delta AMN\) cân tại \(A \Rightarrow \angle AMN = \angle ANM\) (tính chất tam giác cân)
Mà \(\angle AMN + \angle ANM + \angle A = {180^0}\) (tổng ba góc trong một tam giác)
\( \Rightarrow \angle AMN = \angle ANM = \dfrac{{{{180}^0} - \angle A}}{2}\) \(\left( 3 \right)\)
Ta lại có : \(\Delta ABC\) cân tại \(A\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle ABC = \angle ACB\) (tính chất tam giác cân)
Mà \(\angle ABC + \angle ACB + \angle A = {180^0}\) (tổng ba góc trong một tam giác)
\( \Rightarrow \angle ABC = \angle ACB = \dfrac{{{{180}^0} - \angle A}}{2}\) \(\left( 4 \right)\)
Từ \(\left( 3 \right),\,\left( 4 \right) \Rightarrow \angle AMN = \angle ABC\,\left( { = \dfrac{{{{180}^0} - \angle A}}{2}} \right)\)
Mà \(\angle AMN\) và \(\angle ABC\) là hai góc đồng vị
\( \Rightarrow MN\,//\,BC\) (Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
Ta lại có \(MH \bot BC;\,\,NK \bot BC \Rightarrow MH\,//\,NK\) (định lý)
Do đó \(MN = HK\) (tính chất đoạn chắn) \(\left( 5 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right)\) và \(\left( 5 \right)\) suy ra \(2BN > BC + MN\)
\( \Rightarrow BN > \dfrac{{BC + MN}}{2}.\)
Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
